Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
10 g O₂V = 30 LT = 0 °CP = ?

Ein Behälter mit 30 L enthält 10 g O₂ bei 0 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 10 gM = 32 g/molV = 30 LT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
O₂, M = 32 g/molP = 850 kPaT = 50 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von O₂ bei 850 kPa und 50 °C als ideales Gas.

M = 32 g/molP = 850 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 180 °C130 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 130 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 150 °C100 °CWasser · 30 °C50 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 100 °Ct: 30 → 50 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 375 °CTL​ = ?EQH​ = 800 kJQL​ = 343 kJW

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 800 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 375 °C auf und gibt 343 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.

TH = 375 °CQH = 800 kJQL = 343 kJ
TL = °C
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 21 °CTL​ = 10 °CHPQ̇H​ = 12,5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe gibt 12,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 21 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 10 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 30 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

TH = 21 °CTL = 10 °CηII = 30%Q̇H = 12,5 kW
Ẇ = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 15rc = 2,5T1 = 320 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 10T1 = 310 KT3 = 1500 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 23,66 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 10/32 = 0,3125 mol
T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Druck

P = nRT/V = 0,3125·8,314·273,1/0,03 = 23,66 kPa

Antwort

P = 23,66 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 10,12 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Dichte

ρ = 850·32/(8,314·323,1) = 10,12 kg/m³

Antwort

ρ = 10,12 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 26,75 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,1·(180 − 130) = 105 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 105/(1,5·4,18) = 26,75 °C

Antwort

tout = 26,75 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 2,773 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2·2,44·(150 − 100) = 244 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·244 = 231,8 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 231,8/(4,18·20) = 2,773 kg/s

Antwort

ṁc = 2,773 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: TL = 4,744 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperatur der Quelle

TH = 375 + 273,15 = 648,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

TL = TH·QL/QH = 648,1·343/800 = 277,9 K = 4,744 °C

Antwort

TL = 4,744 °C
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 1,558 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COPmax = 294,1/(294,1 − 283,1) = 26,74
COP = 0,3·26,74 = 8,022

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇H/COP = 12,5/8,022 = 1,558 kW

Antwort

Ẇ = 1,558 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: qin = 1425 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Temperaturen

T2 = 320·150,4 = 945,3 K
T3 = 2,5·945,3 = 2363 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

qin = 1,005·(2363 − 945,3) = 1425 kJ/kg

Antwort

qin = 1425 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 436,7 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 310·100,2857 = 598,5 K
T4 = 1500/100,2857 = 776,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(598,5 − 310) = 290 kJ/kg
wt = 1,005·(1500 − 776,9) = 726,7 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 726,7 − 290 = 436,7 kJ/kg

Antwort

wnet = 436,7 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 39,9%.

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