Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 10 L enthält 140 g CH₄ bei 80 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 140 gM = 16,04 g/molV = 10 LT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge N₂ geht von 300 kPa, 2 L, 10 °C über zu 750 kPa und 170 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Ct: 15 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3200 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 400 °C auf und gibt 1560 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 400 °CQ_H = 3200 kJQ_L = 1560 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 4100 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 650 °C auf, verrichtet 1681 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 15 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie S_gen pro Zyklus.

T_H = 650 °CT_L = 15 °CQ_H = 4100 kJW = 1681 kJ

S_gen = kJ/K

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 1,8. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 16r_c = 1,8k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 14. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 82 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 14T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 2563 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 140/16,04 = 8,728 mol

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Druck

P = nRT/V = 8,728·8,314·353,1/0,01 = 2563 kPa

Antwort

P = 2563 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 1,252 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 283,1 K, T₂ = 443,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/750)·(443,1/283,1) = 1,252 L

Antwort

V₂ = 1,252 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 113,4 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,44·(150 − 110) = 195,2 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 195,2/(0,5·4,18) = 113,4 °C

Antwort

t_out = 113,4 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,8756 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1,5·2,44·(130 − 80) = 183 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·183 = 164,7 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 164,7/(4,18·45) = 0,8756 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,8756 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 55,01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 673,1·1560/3200 = 328,2 K = 55,01 °C

Antwort

T_L = 55,01 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: S_gen = 3,954 kJ/K

Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert Q_H/T_H, das kalte Reservoir gewinnt Q_L/T_L. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.

Abgegebene Wärme

Q_L = Q_H − W = 4100 − 1681 = 2419 kJ

Absolute Temperaturen

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Entropieänderungen der Reservoire

ΔS_H = −4100/923,1 = −4,441 kJ/K

ΔS_L = 2419/288,1 = 8,395 kJ/K

S_gen = 8,395 − 4,441 = 3,954 kJ/K

Antwort

S_gen = 3,954 kJ/K

S_gen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 62,39 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(1,8^1,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,3299·1,14 = 62,39%

Antwort

η = 62,39%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 320,6 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 300·14^0,2857 = 637,7 K

T_4s = 1500/14^0,2857 = 705,7 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(637,7 − 300)/0,82 = 413,8 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1500 − 705,7) = 734,4 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 734,4 − 413,8 = 320,6 kJ/kg

Antwort

w_net = 320,6 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 56,35%.

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