Ideales Gasgesetz
- Ideales Gasgesetz
- pV = nRT
- Gaskonstante
- R = 8,314 J/(mol·K)
- Allgemeine Gasgleichung
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- Stoffmenge
- n = m/M
- Temperatur
- T[K] = T[°C] + 273,15
Technische Thermodynamik 1: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Energiebilanz
- Fühlbare Wärme
- Q = ṁ·cp·ΔT
- Latente Wärme
- Q = ṁ·hfg
- Mischen
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- Wasser
- cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
- Wirkungsgrad
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- Carnot-Wirkungsgrad
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- Leistungszahl der Kältemaschine
- COPR = QC/W
- Leistungszahl der Wärmepumpe
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- Energiebilanz
- QH = W + QC
Gaskreisprozesse
- Isentrop, Volumenverhältnis
- T2/T1 = rk−1
- Isentrop, Druckverhältnis
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- Otto-Wirkungsgrad
- η = 1 − 1/rk−1
- Diesel-Wirkungsgrad
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- Zugeführte Wärme
- Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
- Nutzarbeit des Joule-Prozesses
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- Isentrope Wirkungsgrade
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- Kaltluft-Standard
- k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)
2Übungsaufgaben
1.Ideales GasgesetzMittel
Welches Volumen V nehmen 310 g N₂ bei 450 kPa und 60 °C ein? Behandle es als ideales Gas.
m = 310 gM = 28,01 g/molP = 450 kPaT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Eine feste Menge N₂ geht von 300 kPa, 20 L, 40 °C über zu 800 kPa und 180 °C. Bestimme das neue Volumen V2.
P1 = 300 kPaV1 = 20 LT1 = 40 °CP2 = 800 kPaT2 = 180 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 110 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.
ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Ct: 20 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf 5 °C, indem sie 8 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 35 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇H, den sie abgibt.
TL = 5 °CTH = 35 °CQ̇L = 8 kW
Q̇H = kW
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
Eine Wärmepumpe gibt 11 kW Wärme an ein Heizsystem mit 35 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 5 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 40 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.
TH = 35 °CTL = 5 °CηII = 40%Q̇H = 11 kW
Ẇ = kW
7.GaskreisprozesseMittel
Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 14 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
r = 14rc = 2T1 = 320 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 16. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 80 %, die Turbine von 85 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
rp = 16T1 = 290 KT3 = 1400 Kηc = 80%ηt = 85%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3Lösungen
1.Ideales Gasgesetz
Antwort: V = 68,12 L
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Stoffmenge
n = 310/28,01 = 11,07 mol
T = 60 + 273,15 = 333,1 K
Volumen
V = nRT/P = 11,07·8,314·333,1/450 = 68,12 L
Antwort
V = 68,12 L
2.Ideales Gasgesetz
Antwort: V2 = 10,85 L
Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.
Absolute Temperaturen
T1 = 313,1 K, T2 = 453,1 K
Allgemeine Gasgleichung
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(300/800)·(453,1/313,1) = 10,85 L
Antwort
V2 = 10,85 L
3.Energiebilanz
Antwort: tout = 55,14 °C
Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).
Vom heißen Strom abgegebene Wärme
Q = 0,5·3,6·(180 − 110) = 126 kW
Vom Wasser aufgenommene Wärme
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 126/(1·4,18) = 55,14 °C
Antwort
tout = 55,14 °C
4.Energiebilanz
Antwort: ṁc = 2,537 kg/s
Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.
Abgegebene Wärme
Qh = 2·3,6·(150 − 60) = 648 kW
Wärme, die das Wasser erreicht
Qc = (1 − 0,1)·648 = 583,2 kW
Wasserstrom
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 583,2/(4,18·55) = 2,537 kg/s
Antwort
ṁc = 2,537 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Q̇H = 8,863 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K
Wärmeverhältnis im reversiblen Fall
Q̇H = Q̇L·TH/TL = 8·308,1/278,1 = 8,863 kW
Antwort
Q̇H = 8,863 kW
Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,8628 kW.
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Ẇ = 2,677 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K
Carnot- und tatsächliche Leistungszahl
COPmax = 308,1/(308,1 − 278,1) = 10,27
COP = 0,4·10,27 = 4,109
Aufgenommene Leistung
Ẇ = Q̇H/COP = 11/4,109 = 2,677 kW
Antwort
Ẇ = 2,677 kW
7.Gaskreisprozesse
Antwort: qin = 924,2 kJ/kg
Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Temperaturen
T2 = 320·140,4 = 919,6 K
T3 = 2·919,6 = 1839 K
Wärmezufuhr bei konstantem Druck
qin = 1,005·(1839 − 919,6) = 924,2 kJ/kg
Antwort
qin = 924,2 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse
Antwort: wnet = 214,2 kJ/kg
Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.
Isentrope Temperaturen
T2s = 290·160,2857 = 640,4 K
T4s = 1400/160,2857 = 634 K
Verdichter- und Turbinenarbeit
wc = 1,005·(640,4 − 290)/0,8 = 440,2 kJ/kg
wt = 0,85·1,005·(1400 − 634) = 654,3 kJ/kg
Nutzarbeit
wnet = 654,3 − 440,2 = 214,2 kJ/kg
Antwort
wnet = 214,2 kJ/kg
Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 67,27%.
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