Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
90 g O₂V = 50 LT = 35 °CP = ?

Ein Behälter mit 50 L enthält 90 g O₂ bei 35 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 90 gM = 32 g/molV = 50 LT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge Ar geht von 350 kPa, 5 L, 30 °C über zu 550 kPa und 210 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 350 kPaV1 = 5 LT1 = 30 °CP2 = 550 kPaT2 = 210 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C100 °CWasser · 20 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 140 °C70 °CWasser · 15 °C30 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Ct: 15 → 30 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 400 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​η = 30%

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 400 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 30 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad ηII, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

TH = 400 °CTL = 30 °Cη = 30%
ηII = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 1000 °CT0​ = 30 °CTL​ = -25 °CERWQ̇H​ = 190 kWQ̇L​ = ?

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 190 kW Wärme aus einer Quelle mit 1000 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -25 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 30 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

TH = 1000 °CT0 = 30 °CTL = -25 °CQ̇H = 190 kW
Q̇L = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 14 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 14rc = 1,8T1 = 295 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

rp = 12k = 1,4
η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 144,1 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 90/32 = 2,813 mol
T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Druck

P = nRT/V = 2,813·8,314·308,1/0,05 = 144,1 kPa

Antwort

P = 144,1 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 5,071 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 303,1 K, T2 = 483,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(350/550)·(483,1/303,1) = 5,071 L

Antwort

V2 = 5,071 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 45,84 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·3,6·(160 − 100) = 108 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 108/(1·4,18) = 45,84 °C

Antwort

tout = 45,84 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 1,294 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·2,44·(140 − 70) = 85,4 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·85,4 = 81,13 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 81,13/(4,18·15) = 1,294 kg/s

Antwort

ṁc = 1,294 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηII = 54,58 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 400 + 273,15 = 673,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηCarnot = 1 − 303,1/673,1 = 54,97 %

Exergetischer Wirkungsgrad

ηII = η/ηCarnot = 30/54,97 = 54,58 %

Antwort

ηII = 54,58 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇L = 653,1 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 1000 + 273,15 = 1273 K
T0 = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 303,1/1273 = 0,7619
Ẇ = 0,7619·190 = 144,8 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COPR = 248,1/(303,1 − 248,1) = 4,512
Q̇L = 4,512·144,8 = 653,1 kW

Antwort

Q̇L = 653,1 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1526 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 295·140,4 = 847,8 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·847,8 = 1526 K

Antwort

T3 = 1526 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 50,83 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/120,2857 = 1 − 1/2,034 = 50,83%

Antwort

η = 50,83%

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