Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
90 g N₂P = 400 kPaT = 65 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 90 g N₂ bei 400 kPa und 65 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 90 gM = 28,01 g/molP = 400 kPaT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
CH₄, M = 16,04 g/molP = 500 kPaT = 160 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 500 kPa und 160 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 500 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 160 °C80 °CWasser · 25 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 180 °C100 °CWasser · 30 °C45 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 100 °Ct: 30 → 45 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 28 °CTL​ = 0 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 6,5 kWẆ

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf 0 °C, indem sie 6,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 28 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇H, den sie abgibt.

TL = 0 °CTH = 28 °CQ̇L = 6,5 kW
Q̇H = kW
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
650 °CTm​ = ?30 °CABWA​WB​

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 650 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur Tm ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 30 °C ab. Beide Maschinen haben denselben thermischen Wirkungsgrad. Bestimme Tm in °C.

TH = 650 °CTL = 30 °C
Tm = °C
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 15rc = 1,8T1 = 320 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1200 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 6T1 = 310 KT3 = 1200 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 22,58 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 90/28,01 = 3,213 mol
T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Volumen

V = nRT/P = 3,213·8,314·338,1/400 = 22,58 L

Antwort

V = 22,58 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 2,227 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Dichte

ρ = 500·16,04/(8,314·433,1) = 2,227 kg/m³

Antwort

ρ = 2,227 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 45,1 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,1·(160 − 80) = 252 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 252/(3·4,18) = 45,1 °C

Antwort

tout = 45,1 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 9,761 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2,5·3,6·(180 − 100) = 720 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·720 = 612 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 612/(4,18·15) = 9,761 kg/s

Antwort

ṁc = 9,761 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇H = 7,166 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 28 + 273,15 = 301,1 K
TL = 0 + 273,15 = 273,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 6,5·301,1/273,1 = 7,166 kW

Antwort

Q̇H = 7,166 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,6663 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Tm = 255,9 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 650 + 273,15 = 923,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Gleiche Wirkungsgrade

Aus 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm folgt Tm² = TH·TL.

Tm = √(923,1·303,1) = 529 K = 255,9 °C

Antwort

Tm = 255,9 °C
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1702 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 320·150,4 = 945,3 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·945,3 = 1702 K

Antwort

T3 = 1702 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 274,9 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 310·60,2857 = 517,2 K
T4 = 1200/60,2857 = 719,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(517,2 − 310) = 208,3 kJ/kg
wt = 1,005·(1200 − 719,2) = 483,2 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 483,2 − 208,3 = 274,9 kJ/kg

Antwort

wnet = 274,9 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 43,1%.

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