Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 50 L enthält 400 g O₂ bei 5 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 400 gM = 32 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge He geht von 350 kPa, 20 L, 40 °C über zu 300 kPa und 250 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 110 °Ct: 30 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 450 °C und einem kalten Reservoir mit 15 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad η_max.

T_H = 450 °CT_L = 15 °C

η_max = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 550 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur T_m ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 15 °C ab. Beide Maschinen verrichten dieselbe Arbeit. Bestimme T_m in °C.

T_H = 550 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 16r_c = 2,2T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 578,1 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 400/32 = 12,5 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Druck

P = nRT/V = 12,5·8,314·278,1/0,05 = 578,1 kPa

Antwort

P = 578,1 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 38,98 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 313,1 K, T₂ = 523,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/300)·(523,1/313,1) = 38,98 L

Antwort

V₂ = 38,98 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 87,51 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·3,6·(120 − 60) = 324 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 324/(1·4,18) = 87,51 °C

Antwort

t_out = 87,51 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,861 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 3·2,44·(160 − 110) = 366 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·366 = 311,1 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 311,1/(4,18·40) = 1,861 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,861 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_max = 60,15 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/723,1 = 60,15 %

Antwort

η_max = 60,15 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_m = 282,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Gleiche Arbeit

W = Q·(1 − T_low/T_high), und Q/T ist an jedem Reservoir gleich, also ist W proportional zum Temperaturgefälle.

T_m = (823,1 + 288,1)/2 = 555,6 K = 282,5 °C

Antwort

T_m = 282,5 °C

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 2067 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 310·16^0,4 = 939,7 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·939,7 = 2067 K

Antwort

T₃ = 2067 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 377,5 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 310·8^0,2857 = 561,5 K

T₄ = 1400/8^0,2857 = 772,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(561,5 − 310) = 252,8 kJ/kg

w_t = 1,005·(1400 − 772,9) = 630,3 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 630,3 − 252,8 = 377,5 kJ/kg

Antwort

w_net = 377,5 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 40,11%.

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