Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
190 g HeP = 400 kPaT = 15 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 190 g He bei 400 kPa und 15 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 190 gM = 4,003 g/molP = 400 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge Ar geht von 150 kPa, 20 L, 40 °C über zu 150 kPa und 140 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 150 kPaV1 = 20 LT1 = 40 °CP2 = 150 kPaT2 = 140 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C100 °CWasser · 20 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 180 °C60 °CWasser · 15 °C80 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 60 °Ct: 15 → 80 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 700 °CTL​ = 30 °CEQH​ = 500 kJQL​W = ?

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 700 °C und einem kalten Reservoir mit 30 °C. Sie nimmt 500 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.

TH = 700 °CTL = 30 °CQH = 500 kJ
Wmax = kJ
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 35 °CTL​ = -10 °CRQ̇H​Q̇L​ = 0,5 kWẆ

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -10 °C in einer Küche mit 35 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 0,5 kW. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COPmax.

TH = 35 °CTL = -10 °CQ̇L = 0,5 kW
COPmax =
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 16rc = 1,8T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 14. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 90 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 14T1 = 300 KT3 = 1300 Kηc = 88%ηt = 90%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 284,3 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 190/4,003 = 47,46 mol
T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Volumen

V = nRT/P = 47,46·8,314·288,1/400 = 284,3 L

Antwort

V = 284,3 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 26,39 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 313,1 K, T2 = 413,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(150/150)·(413,1/313,1) = 26,39 L

Antwort

V2 = 26,39 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 58,76 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·3,6·(160 − 100) = 324 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 324/(2·4,18) = 58,76 °C

Antwort

tout = 58,76 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 1,94 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2·2,44·(180 − 60) = 585,6 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·585,6 = 527 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 527/(4,18·65) = 1,94 kg/s

Antwort

ṁc = 1,94 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Wmax = 344,2 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 700 + 273,15 = 973,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303,1/973,1 = 68,85 %

Maximale Arbeit

Wmax = ηmax·QH = 0,6885·500 = 344,2 kJ

Antwort

Wmax = 344,2 kJ
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COPmax = 5,848

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 263,1/(308,1 − 263,1) = 5,848

Antwort

COPmax = 5,848
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1692 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 310·160,4 = 939,7 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·939,7 = 1692 K

Antwort

T3 = 1692 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 237 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2s = 300·140,2857 = 637,7 K
T4s = 1300/140,2857 = 611,6 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(637,7 − 300)/0,88 = 385,6 kJ/kg
wt = 0,9·1,005·(1300 − 611,6) = 622,6 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 622,6 − 385,6 = 237 kJ/kg

Antwort

wnet = 237 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 61,93%.

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