Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 5 L enthält 340 g N₂ bei 30 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 340 gM = 28,01 g/molV = 5 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 800 kPa und 50 °C als ideales Gas.

M = 44,01 g/molP = 800 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 60 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 130 °Ct: 25 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 500 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 35 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 36 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad η_II, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

T_H = 500 °CT_L = 35 °Cη = 36%

η_II = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -18 °C in einer Küche mit 25 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 3,5 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇ_min.

T_H = 25 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 3,5 kW

Ẇ_min = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 22r_c = 1,8T₁ = 300 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 12k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 6119 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 340/28,01 = 12,14 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Druck

P = nRT/V = 12,14·8,314·303,1/0,005 = 6119 kPa

Antwort

P = 6119 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 13,1 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Dichte

ρ = 800·44,01/(8,314·323,1) = 13,1 kg/m³

Antwort

ρ = 13,1 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 33,35 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,44·(180 − 60) = 292,8 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 292,8/(3·4,18) = 33,35 °C

Antwort

t_out = 33,35 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,401 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 3·2,44·(170 − 130) = 292,8 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·292,8 = 263,5 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 263,5/(4,18·45) = 1,401 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,401 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_II = 59,86 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_Carnot = 1 − 308,1/773,1 = 60,14 %

Exergetischer Wirkungsgrad

η_II = η/η_Carnot = 36/60,14 = 59,86 %

Antwort

η_II = 59,86 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ_min = 0,5898 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(298,1 − 255,1) = 5,934

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3,5/5,934 = 0,5898 kW

Antwort

Ẇ_min = 0,5898 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 1859 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 300·22^0,4 = 1033 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 1,8·1033 = 1859 K

Antwort

T₃ = 1859 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 50,83 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/12^0,2857 = 1 − 1/2,034 = 50,83%

Antwort

η = 50,83%

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