Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
480 g CO₂P = 750 kPaT = 90 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 480 g CO₂ bei 750 kPa und 90 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 480 gM = 44,01 g/molP = 750 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge CH₄ geht von 200 kPa, 5 L, 35 °C über zu 200 kPa und 130 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 200 kPaV1 = 5 LT1 = 35 °CP2 = 200 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 150 °C100 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 100 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 120 °C60 °CWasser · 25 °C55 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Ct: 25 → 55 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 700 °CTL​ = 20 °CEQH​QL​W

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 700 °C und einem kalten Reservoir mit 20 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad ηmax.

TH = 700 °CTL = 20 °C
ηmax = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 4,5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe gibt 4,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 20 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 2 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 55 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

TH = 20 °CTL = 2 °CηII = 55%Q̇H = 4,5 kW
Ẇ = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 3. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 15rc = 3k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 20T1 = 290 KT3 = 1400 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 43,91 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 480/44,01 = 10,91 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volumen

V = nRT/P = 10,91·8,314·363,1/750 = 43,91 L

Antwort

V = 43,91 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 6,541 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 308,1 K, T2 = 403,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(200/200)·(403,1/308,1) = 6,541 L

Antwort

V2 = 6,541 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 19,73 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·2,44·(150 − 100) = 61 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 61/(1,5·4,18) = 19,73 °C

Antwort

tout = 19,73 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 2,928 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2·3,6·(120 − 60) = 432 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·432 = 367,2 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 367,2/(4,18·30) = 2,928 kg/s

Antwort

ṁc = 2,928 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηmax = 69,88 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 700 + 273,15 = 973,1 K
TL = 20 + 273,15 = 293,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293,1/973,1 = 69,88 %

Antwort

ηmax = 69,88 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 0,5024 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COPmax = 293,1/(293,1 − 275,1) = 16,29
COP = 0,55·16,29 = 8,957

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇H/COP = 4,5/8,957 = 0,5024 kW

Antwort

Ẇ = 0,5024 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 55,81 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(31,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,3385·1,306 = 55,81%

Antwort

η = 55,81%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 414,7 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 290·200,2857 = 682,5 K
T4 = 1400/200,2857 = 594,8 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(682,5 − 290) = 394,5 kJ/kg
wt = 1,005·(1400 − 594,8) = 809,2 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 809,2 − 394,5 = 414,7 kJ/kg

Antwort

wnet = 414,7 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 48,75%.

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