Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
250 g CO₂V = 20 LT = 95 °CP = ?

Ein Behälter mit 20 L enthält 250 g CO₂ bei 95 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 250 gM = 44,01 g/molV = 20 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
He, M = 4,003 g/molP = 1000 kPaT = 140 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von He bei 1000 kPa und 140 °C als ideales Gas.

M = 4,003 g/molP = 1000 kPaT = 140 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 140 °C80 °CWasser · 25 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 1 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 140 °C60 °CWasser · 10 °C80 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 1 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Ct: 10 → 80 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 600 °CTL​ = ?EQH​ = 900 kJQL​ = 297 kJW

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 900 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 600 °C auf und gibt 297 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.

TH = 600 °CQH = 900 kJQL = 297 kJ
TL = °C
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 20 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 20 °C, während es draußen 7 °C sind, und liefert 5 kW Wärme an das Haus. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 20 °CTL = 7 °CQ̇H = 5 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 20rc = 2,5T1 = 300 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 10T1 = 300 KT3 = 1400 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 869,3 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 250/44,01 = 5,681 mol
T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Druck

P = nRT/V = 5,681·8,314·368,1/0,02 = 869,3 kPa

Antwort

P = 869,3 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 1,165 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 140 + 273,15 = 413,1 K

Dichte

ρ = 1000·4,003/(8,314·413,1) = 1,165 kg/m³

Antwort

ρ = 1,165 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 76,67 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·3,6·(140 − 80) = 216 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 216/(1·4,18) = 76,67 °C

Antwort

tout = 76,67 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,8859 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 1·3,6·(140 − 60) = 288 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·288 = 259,2 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 259,2/(4,18·70) = 0,8859 kg/s

Antwort

ṁc = 0,8859 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: TL = 14,99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperatur der Quelle

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

TL = TH·QL/QH = 873,1·297/900 = 288,1 K = 14,99 °C

Antwort

TL = 14,99 °C
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,2217 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = 7 + 273,15 = 280,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293,1/(293,1 − 280,1) = 22,55

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇H/COP = 5/22,55 = 0,2217 kW

Antwort

Ẇmin = 0,2217 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 2486 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 300·200,4 = 994,3 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 2,5·994,3 = 2486 K

Antwort

T3 = 2486 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 397,6 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 300·100,2857 = 579,2 K
T4 = 1400/100,2857 = 725,1 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(579,2 − 300) = 280,6 kJ/kg
wt = 1,005·(1400 − 725,1) = 678,2 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 678,2 − 280,6 = 397,6 kJ/kg

Antwort

wnet = 397,6 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 41,37%.

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