Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 340 g O₂ bei 300 kPa und 25 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 340 gM = 32 g/molP = 300 kPaT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge N₂ geht von 350 kPa, 5 L, 40 °C über zu 600 kPa und 130 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 90 °Ct: 15 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -25 °C, indem sie 9 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 40 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = -25 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3300 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 800 °C auf, verrichtet 1188 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 30 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie S_gen pro Zyklus.

T_H = 800 °CT_L = 30 °CQ_H = 3300 kJW = 1188 kJ

S_gen = kJ/K

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 19r_c = 3T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 12k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 87,79 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 340/32 = 10,63 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Volumen

V = nRT/P = 10,63·8,314·298,1/300 = 87,79 L

Antwort

V = 87,79 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 3,755 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 313,1 K, T₂ = 403,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/600)·(403,1/313,1) = 3,755 L

Antwort

V₂ = 3,755 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 60,22 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,1·(170 − 140) = 94,5 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 94,5/(0,5·4,18) = 60,22 °C

Antwort

t_out = 60,22 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 3,969 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2,5·2,44·(170 − 90) = 488 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·488 = 414,8 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 414,8/(4,18·25) = 3,969 kg/s

Antwort

ṁ_c = 3,969 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 11,36 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 40 + 273,15 = 313,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·313,1/248,1 = 11,36 kW

Antwort

Q̇_H = 11,36 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 2,357 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: S_gen = 3,892 kJ/K

Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert Q_H/T_H, das kalte Reservoir gewinnt Q_L/T_L. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.

Abgegebene Wärme

Q_L = Q_H − W = 3300 − 1188 = 2112 kJ

Absolute Temperaturen

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Entropieänderungen der Reservoire

ΔS_H = −3300/1073 = −3,075 kJ/K

ΔS_L = 2112/303,1 = 6,967 kJ/K

S_gen = 6,967 − 3,075 = 3,892 kJ/K

Antwort

S_gen = 3,892 kJ/K

S_gen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1958 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 300·19^0,4 = 974,1 K

T₃ = 3·974,1 = 2922 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2922 − 974,1) = 1958 kJ/kg

Antwort

q_in = 1958 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 50,83 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/12^0,2857 = 1 − 1/2,034 = 50,83%

Antwort

η = 50,83%

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