Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 380 g CO₂ bei 800 kPa und 80 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 380 gM = 44,01 g/molP = 800 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von O₂ bei 950 kPa und 40 °C als ideales Gas.

M = 32 g/molP = 950 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Ct: 20 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3000 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 600 °C auf und gibt 1042 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 600 °CQ_H = 3000 kJQ_L = 1042 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 14 kW Wärme an ein Heizsystem mit 55 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit -10 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 50 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 55 °CT_L = -10 °Cη_II = 50%Q̇_H = 14 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 14 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 8k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 31,69 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 380/44,01 = 8,634 mol

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Volumen

V = nRT/P = 8,634·8,314·353,1/800 = 31,69 L

Antwort

V = 31,69 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 11,68 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Dichte

ρ = 950·32/(8,314·313,1) = 11,68 kg/m³

Antwort

ρ = 11,68 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 110,4 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·3,6·(140 − 70) = 378 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 378/(1·4,18) = 110,4 °C

Antwort

t_out = 110,4 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,367 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,1·(140 − 60) = 336 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·336 = 285,6 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 285,6/(4,18·50) = 1,367 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,367 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 30,12 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 873,1·1042/3000 = 303,3 K = 30,12 °C

Antwort

T_L = 30,12 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 5,546 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 55 + 273,15 = 328,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 328,1/(328,1 − 263,1) = 5,048

COP = 0,5·5,048 = 2,524

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 14/2,524 = 5,546 kW

Antwort

Ẇ = 5,546 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1109 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 320·14^0,4 = 919,6 K

T₃ = 2,2·919,6 = 2023 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2023 − 919,6) = 1109 kJ/kg

Antwort

q_in = 1109 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 44,8 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/8^0,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Antwort

η = 44,8%

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