Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
20 g CH₄V = 5 LT = 30 °CP = ?

Ein Behälter mit 5 L enthält 20 g CH₄ bei 30 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 20 gM = 16,04 g/molV = 5 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
CH₄, M = 16,04 g/molP = 750 kPaT = 40 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 750 kPa und 40 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 750 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 150 °C80 °CWasser · 15 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 120 °C70 °CWasser · 25 °C85 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Ct: 25 → 85 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 775 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​W

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 775 °C und einem kalten Reservoir mit 15 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad ηmax.

TH = 775 °CTL = 15 °C
ηmax = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 21 °CTL​ = 5 °CHPQ̇H​ = 8,5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe gibt 8,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 21 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 5 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 45 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

TH = 21 °CTL = 5 °CηII = 45%Q̇H = 8,5 kW
Ẇ = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 20rc = 2k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 12T1 = 288 KT3 = 1300 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 628,5 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 20/16,04 = 1,247 mol
T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Druck

P = nRT/V = 1,247·8,314·303,1/0,005 = 628,5 kPa

Antwort

P = 628,5 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 4,621 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Dichte

ρ = 750·16,04/(8,314·313,1) = 4,621 kg/m³

Antwort

ρ = 4,621 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 42,24 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,44·(150 − 80) = 341,6 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 341,6/(3·4,18) = 42,24 °C

Antwort

tout = 42,24 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,2067 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·2,44·(120 − 70) = 61 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·61 = 51,85 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 51,85/(4,18·60) = 0,2067 kg/s

Antwort

ṁc = 0,2067 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηmax = 72,51 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 775 + 273,15 = 1048 K
TL = 15 + 273,15 = 288,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288,1/1048 = 72,51 %

Antwort

ηmax = 72,51 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 1,027 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COPmax = 294,1/(294,1 − 278,1) = 18,38
COP = 0,45·18,38 = 8,273

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇H/COP = 8,5/8,273 = 1,027 kW

Antwort

Ẇ = 1,027 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 64,68 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(21,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,3017·1,171 = 64,68%

Antwort

η = 64,68%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 364,9 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 288·120,2857 = 585,8 K
T4 = 1300/120,2857 = 639,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(585,8 − 288) = 299,3 kJ/kg
wt = 1,005·(1300 − 639,2) = 664,1 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 664,1 − 299,3 = 364,9 kJ/kg

Antwort

wnet = 364,9 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 45,06%.

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