Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 370 g CO₂ bei 500 kPa und 100 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 370 gM = 44,01 g/molP = 500 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge He geht von 250 kPa, 20 L, 30 °C über zu 750 kPa und 70 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 60 °Ct: 10 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf 0 °C, indem sie 9 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 40 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = 0 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -18 °C in einer Küche mit 35 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 0,5 kW. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COP_max.

T_H = 35 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 0,5 kW

COP_max =

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 17r_c = 3T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 8k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 52,16 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 370/44,01 = 8,407 mol

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Volumen

V = nRT/P = 8,407·8,314·373,1/500 = 52,16 L

Antwort

V = 52,16 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 7,546 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 303,1 K, T₂ = 343,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/750)·(343,1/303,1) = 7,546 L

Antwort

V₂ = 7,546 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 37,51 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,44·(120 − 90) = 146,4 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 146,4/(2·4,18) = 37,51 °C

Antwort

t_out = 37,51 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,9096 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1·2,44·(170 − 60) = 268,4 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·268,4 = 228,1 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 228,1/(4,18·60) = 0,9096 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,9096 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 10,32 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 40 + 273,15 = 313,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·313,1/273,1 = 10,32 kW

Antwort

Q̇_H = 10,32 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 1,318 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COP_max = 4,814

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(308,1 − 255,1) = 4,814

Antwort

COP_max = 4,814

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1873 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 300·17^0,4 = 931,8 K

T₃ = 3·931,8 = 2795 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2795 − 931,8) = 1873 kJ/kg

Antwort

q_in = 1873 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 44,8 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/8^0,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Antwort

η = 44,8%

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