Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 10 L enthält 250 g O₂ bei 70 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 250 gM = 32 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge He geht von 400 kPa, 10 L, 25 °C über zu 600 kPa und 100 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 90 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 130 °Ct: 25 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 425 °C und einem kalten Reservoir mit 25 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad η_max.

T_H = 425 °CT_L = 25 °C

η_max = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 700 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 600 °C auf, verrichtet 329 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 10 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie S_gen pro Zyklus.

T_H = 600 °CT_L = 10 °CQ_H = 700 kJW = 329 kJ

S_gen = kJ/K

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 19r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 85 %, die Turbine von 90 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 288 KT₃ = 1100 Kη_c = 85%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 2229 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 250/32 = 7,813 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Druck

P = nRT/V = 7,813·8,314·343,1/0,01 = 2229 kPa

Antwort

P = 2229 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 8,344 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 298,1 K, T₂ = 373,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/600)·(373,1/298,1) = 8,344 L

Antwort

V₂ = 8,344 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 51,53 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·3,6·(140 − 90) = 270 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 270/(3·4,18) = 51,53 °C

Antwort

t_out = 51,53 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,313 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1·2,44·(180 − 130) = 122 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·122 = 109,8 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 109,8/(4,18·20) = 1,313 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,313 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_max = 57,29 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 425 + 273,15 = 698,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/698,1 = 57,29 %

Antwort

η_max = 57,29 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: S_gen = 0,5086 kJ/K

Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert Q_H/T_H, das kalte Reservoir gewinnt Q_L/T_L. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.

Abgegebene Wärme

Q_L = Q_H − W = 700 − 329 = 371 kJ

Absolute Temperaturen

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Entropieänderungen der Reservoire

ΔS_H = −700/873,1 = −0,8017 kJ/K

ΔS_L = 371/283,1 = 1,31 kJ/K

S_gen = 1,31 − 0,8017 = 0,5086 kJ/K

Antwort

S_gen = 0,5086 kJ/K

S_gen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 63,05 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,308·1,2 = 63,05%

Antwort

η = 63,05%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 169,4 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 288·8^0,2857 = 521,7 K

T_4s = 1100/8^0,2857 = 607,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(521,7 − 288)/0,85 = 276,3 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1100 − 607,2) = 445,7 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 445,7 − 276,3 = 169,4 kJ/kg

Antwort

w_net = 169,4 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 62%.

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