Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 500 g N₂ bei 650 kPa und 40 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 500 gM = 28,01 g/molP = 650 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge N₂ geht von 150 kPa, 5 L, 35 °C über zu 600 kPa und 120 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 140 °Ct: 20 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 600 °C und einem kalten Reservoir mit 30 °C. Sie nimmt 2000 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 600 °CT_L = 30 °CQ_H = 2000 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 200 kW Wärme aus einer Quelle mit 450 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 27 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -20 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 27 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 450 °CT₀ = 27 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 200 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 18r_c = 3k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 6k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 71,5 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 500/28,01 = 17,85 mol

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Volumen

V = nRT/P = 17,85·8,314·313,1/650 = 71,5 L

Antwort

V = 71,5 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 1,595 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 308,1 K, T₂ = 393,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/600)·(393,1/308,1) = 1,595 L

Antwort

V₂ = 1,595 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 50,1 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·3,6·(140 − 70) = 252 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 252/(3·4,18) = 50,1 °C

Antwort

t_out = 50,1 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,9923 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2,5·2,44·(180 − 140) = 244 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·244 = 207,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 207,4/(4,18·50) = 0,9923 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,9923 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 1306 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/873,1 = 65,28 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,6528·2000 = 1306 kJ

Antwort

W_max = 1306 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 630,1 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T₀ = 27 + 273,15 = 300,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 300,1/723,1 = 0,5849

Ẇ = 0,5849·200 = 117 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 253,1/(300,1 − 253,1) = 5,386

Q̇_L = 5,386·117 = 630,1 kW

Antwort

Q̇_L = 630,1 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 58,91 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,3147·1,306 = 58,91%

Antwort

η = 58,91%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 40,07 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/6^0,2857 = 1 − 1/1,669 = 40,07%

Antwort

η = 40,07%

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