Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
300 g O₂P = 100 kPaT = 90 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 300 g O₂ bei 100 kPa und 90 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 300 gM = 32 g/molP = 100 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
CO₂, M = 44,01 g/molP = 850 kPaT = 170 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 850 kPa und 170 °C als ideales Gas.

M = 44,01 g/molP = 850 kPaT = 170 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 140 °C110 °CWasser · 25 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C90 °CWasser · 30 °C85 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 90 °Ct: 30 → 85 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 20 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 8,5 kWẆ

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -20 °C, indem sie 8,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 20 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇H, den sie abgibt.

TL = -20 °CTH = 20 °CQ̇L = 8,5 kW
Q̇H = kW
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 28 °CTL​ = 5 °CRQ̇H​Q̇L​ = 3,5 kWẆ = ?

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf 5 °C in einer Küche mit 28 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 3,5 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 28 °CTL = 5 °CQ̇L = 3,5 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 22rc = 2k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 8T1 = 300 KT3 = 1400 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 283,1 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 300/32 = 9,375 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volumen

V = nRT/P = 9,375·8,314·363,1/100 = 283,1 L

Antwort

V = 283,1 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 10,15 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 170 + 273,15 = 443,1 K

Dichte

ρ = 850·44,01/(8,314·443,1) = 10,15 kg/m³

Antwort

ρ = 10,15 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 95,05 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,44·(140 − 110) = 146,4 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 146,4/(0,5·4,18) = 95,05 °C

Antwort

tout = 95,05 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 2,329 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2,5·3,6·(160 − 90) = 630 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·630 = 535,5 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 535,5/(4,18·55) = 2,329 kg/s

Antwort

ṁc = 2,329 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇H = 9,843 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = -20 + 273,15 = 253,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 8,5·293,1/253,1 = 9,843 kW

Antwort

Q̇H = 9,843 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 1,343 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,2894 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 28 + 273,15 = 301,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 278,1/(301,1 − 278,1) = 12,09

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇L/COP = 3,5/12,09 = 0,2894 kW

Antwort

Ẇmin = 0,2894 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 66 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(21,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,2904·1,171 = 66%

Antwort

η = 66%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 385,6 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 300·80,2857 = 543,4 K
T4 = 1400/80,2857 = 772,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(543,4 − 300) = 244,7 kJ/kg
wt = 1,005·(1400 − 772,9) = 630,3 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 630,3 − 244,7 = 385,6 kJ/kg

Antwort

wnet = 385,6 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 38,82%.

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