Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 290 g He bei 300 kPa und 65 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 290 gM = 4,003 g/molP = 300 kPaT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge O₂ geht von 250 kPa, 10 L, 30 °C über zu 100 kPa und 120 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 30 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf 4 °C, indem sie 1 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 40 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = 4 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 1 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 40 kW Wärme aus einer Quelle mit 500 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit 0 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 30 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 500 °CT₀ = 30 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 17r_c = 2,5T₁ = 295 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 82 %, die Turbine von 88 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 678,9 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 290/4,003 = 72,45 mol

T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Volumen

V = nRT/P = 72,45·8,314·338,1/300 = 678,9 L

Antwort

V = 678,9 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 32,42 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 303,1 K, T₂ = 393,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/100)·(393,1/303,1) = 32,42 L

Antwort

V₂ = 32,42 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 120,4 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·3,6·(130 − 60) = 756 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 756/(2·4,18) = 120,4 °C

Antwort

t_out = 120,4 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,191 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1·2,44·(130 − 70) = 146,4 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·146,4 = 124,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 124,4/(4,18·25) = 1,191 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,191 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 1,13 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 40 + 273,15 = 313,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1·313,1/277,1 = 1,13 kW

Antwort

Q̇_H = 1,13 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,1299 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 221,4 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T₀ = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 303,1/773,1 = 0,6079

Ẇ = 0,6079·40 = 24,32 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 273,1/(303,1 − 273,1) = 9,105

Q̇_L = 9,105·24,32 = 221,4 kW

Antwort

Q̇_L = 221,4 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1381 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 295·17^0,4 = 916,2 K

T₃ = 2,5·916,2 = 2291 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2291 − 916,2) = 1381 kJ/kg

Antwort

q_in = 1381 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 243,2 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 310·10^0,2857 = 598,5 K

T_4s = 1400/10^0,2857 = 725,1 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(598,5 − 310)/0,82 = 353,6 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1400 − 725,1) = 596,9 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 596,9 − 353,6 = 243,2 kJ/kg

Antwort

w_net = 243,2 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 59,24%.

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