Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 30 L enthält 380 g Ar bei 60 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 380 gM = 39,95 g/molV = 30 LT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von He bei 1000 kPa und 30 °C als ideales Gas.

M = 4,003 g/molP = 1000 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 110 °Ct: 10 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -25 °C, indem sie 1,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = -25 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 1,5 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 190 kW Wärme aus einer Quelle mit 900 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 20 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -20 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 20 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 900 °CT₀ = 20 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 190 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 19r_c = 1,5T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 878,2 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 380/39,95 = 9,512 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Druck

P = nRT/V = 9,512·8,314·333,1/0,03 = 878,2 kPa

Antwort

P = 878,2 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 1,588 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Dichte

ρ = 1000·4,003/(8,314·303,1) = 1,588 kg/m³

Antwort

ρ = 1,588 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 112,6 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·2,44·(130 − 100) = 183 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 183/(0,5·4,18) = 112,6 °C

Antwort

t_out = 112,6 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,4503 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 0,5·2,44·(170 − 110) = 73,2 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·73,2 = 65,88 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 65,88/(4,18·35) = 0,4503 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,4503 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 1,832 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1,5·303,1/248,1 = 1,832 kW

Antwort

Q̇_H = 1,832 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,3325 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 902 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T₀ = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 293,1/1173 = 0,7501

Ẇ = 0,7501·190 = 142,5 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 253,1/(293,1 − 253,1) = 6,329

Q̇_L = 6,329·142,5 = 902 kW

Antwort

Q̇_L = 902 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 505,8 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 310·19^0,4 = 1007 K

T₃ = 1,5·1007 = 1510 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(1510 − 1007) = 505,8 kJ/kg

Antwort

q_in = 505,8 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 339,8 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 310·10^0,2857 = 598,5 K

T₄ = 1300/10^0,2857 = 673,3 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(598,5 − 310) = 290 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 673,3) = 629,8 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 629,8 − 290 = 339,8 kJ/kg

Antwort

w_net = 339,8 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 46,04%.

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