Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 5 L enthält 150 g He bei 95 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 150 gM = 4,003 g/molV = 5 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge He geht von 350 kPa, 20 L, 10 °C über zu 500 kPa und 170 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 90 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 130 °Ct: 25 → 50 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 325 °C und einem kalten Reservoir mit 35 °C. Sie nimmt 800 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 325 °CT_L = 35 °CQ_H = 800 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 800 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur T_m ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 40 °C ab. Beide Maschinen verrichten dieselbe Arbeit. Bestimme T_m in °C.

T_H = 800 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 18r_c = 3T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 288 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 22939 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 150/4,003 = 37,47 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Druck

P = nRT/V = 37,47·8,314·368,1/0,005 = 22939 kPa

Antwort

P = 22939 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 21,91 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 283,1 K, T₂ = 443,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/500)·(443,1/283,1) = 21,91 L

Antwort

V₂ = 21,91 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 98,8 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,44·(180 − 90) = 329,4 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 329,4/(1·4,18) = 98,8 °C

Antwort

t_out = 98,8 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,356 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1,5·2,1·(180 − 130) = 157,5 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·157,5 = 141,8 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 141,8/(4,18·25) = 1,356 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,356 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 387,9 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/598,1 = 48,48 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,4848·800 = 387,9 kJ

Antwort

W_max = 387,9 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_m = 420 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Gleiche Arbeit

W = Q·(1 − T_low/T_high), und Q/T ist an jedem Reservoir gleich, also ist W proportional zum Temperaturgefälle.

T_m = (1073 + 313,1)/2 = 693,2 K = 420 °C

Antwort

T_m = 420 °C

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1980 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

T₃ = 3·985,1 = 2955 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2955 − 985,1) = 1980 kJ/kg

Antwort

q_in = 1980 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 410,5 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 288·6^0,2857 = 480,5 K

T₄ = 1500/6^0,2857 = 899 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(480,5 − 288) = 193,5 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 899) = 604 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 604 − 193,5 = 410,5 kJ/kg

Antwort

w_net = 410,5 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 32,04%.

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