Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 5 L enthält 450 g N₂ bei 0 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 450 gM = 28,01 g/molV = 5 LT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 450 kPa und 140 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 450 kPaT = 140 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 15 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 275 °C und einem kalten Reservoir mit 10 °C. Sie nimmt 5000 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 275 °CT_L = 10 °CQ_H = 5000 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 8,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 45 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 7 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 40 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 45 °CT_L = 7 °Cη_II = 40%Q̇_H = 8,5 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 14 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 14r_c = 2T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 16. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 16T₁ = 290 KT₃ = 1400 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 7297 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 450/28,01 = 16,07 mol

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Druck

P = nRT/V = 16,07·8,314·273,1/0,005 = 7297 kPa

Antwort

P = 7297 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 2,101 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273,15 = 413,1 K

Dichte

ρ = 450·16,04/(8,314·413,1) = 2,101 kg/m³

Antwort

ρ = 2,101 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 146,3 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·3,6·(170 − 80) = 972 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 972/(2·4,18) = 146,3 °C

Antwort

t_out = 146,3 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,4159 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 0,5·2,44·(140 − 80) = 73,2 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·73,2 = 69,54 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 69,54/(4,18·40) = 0,4159 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,4159 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 2417 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 275 + 273,15 = 548,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/548,1 = 48,34 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,4834·5000 = 2417 kJ

Antwort

W_max = 2417 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 2,538 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 318,1/(318,1 − 280,1) = 8,372

COP = 0,4·8,372 = 3,349

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 8,5/3,349 = 2,538 kW

Antwort

Ẇ = 2,538 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 924,2 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 320·14^0,4 = 919,6 K

T₃ = 2·919,6 = 1839 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(1839 − 919,6) = 924,2 kJ/kg

Antwort

q_in = 924,2 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 417,7 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 290·16^0,2857 = 640,4 K

T₄ = 1400/16^0,2857 = 634 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(640,4 − 290) = 352,1 kJ/kg

w_t = 1,005·(1400 − 634) = 769,8 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 769,8 − 352,1 = 417,7 kJ/kg

Antwort

w_net = 417,7 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 45,74%.

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