Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 290 g CO₂ bei 150 kPa und 55 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 290 gM = 44,01 g/molP = 150 kPaT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 900 kPa und 40 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 900 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 110 °Ct: 20 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3700 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 300 °C auf und gibt 1892 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 300 °CQ_H = 3700 kJQ_L = 1892 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 2700 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 650 °C auf, verrichtet 1107 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 20 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie S_gen pro Zyklus.

T_H = 650 °CT_L = 20 °CQ_H = 2700 kJW = 1107 kJ

S_gen = kJ/K

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 17r_c = 2,5T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 18. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 90 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 119,8 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 290/44,01 = 6,589 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Volumen

V = nRT/P = 6,589·8,314·328,1/150 = 119,8 L

Antwort

V = 119,8 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 5,545 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Dichte

ρ = 900·16,04/(8,314·313,1) = 5,545 kg/m³

Antwort

ρ = 5,545 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 37,54 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·2,1·(120 − 60) = 63 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 63/(2·4,18) = 37,54 °C

Antwort

t_out = 37,54 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,536 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 3·2,44·(170 − 110) = 439,2 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·439,2 = 417,2 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 417,2/(4,18·65) = 1,536 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,536 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 19,93 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 573,1·1892/3700 = 293,1 K = 19,93 °C

Antwort

T_L = 19,93 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: S_gen = 2,509 kJ/K

Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert Q_H/T_H, das kalte Reservoir gewinnt Q_L/T_L. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.

Abgegebene Wärme

Q_L = Q_H − W = 2700 − 1107 = 1593 kJ

Absolute Temperaturen

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Entropieänderungen der Reservoire

ΔS_H = −2700/923,1 = −2,925 kJ/K

ΔS_L = 1593/293,1 = 5,434 kJ/K

S_gen = 5,434 − 2,925 = 2,509 kJ/K

Antwort

S_gen = 2,509 kJ/K

S_gen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 2252 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 290·17^0,4 = 900,7 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2,5·900,7 = 2252 K

Antwort

T₃ = 2252 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 206,5 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 310·18^0,2857 = 708 K

T_4s = 1300/18^0,2857 = 569,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(708 − 310)/0,88 = 454,5 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1300 − 569,2) = 661 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 661 − 454,5 = 206,5 kJ/kg

Antwort

w_net = 206,5 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 68,76%.

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