Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 50 L enthält 290 g N₂ bei 50 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 290 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge CO₂ geht von 300 kPa, 20 L, 35 °C über zu 250 kPa und 250 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 30 → 50 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 275 °C und einem kalten Reservoir mit 5 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad η_max.

T_H = 275 °CT_L = 5 °C

η_max = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 1050 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur T_m ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 15 °C ab. Beide Maschinen verrichten dieselbe Arbeit. Bestimme T_m in °C.

T_H = 1050 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 305 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 19r_c = 3T₁ = 305 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 310 KT₃ = 1100 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 556,3 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 290/28,01 = 10,35 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Druck

P = nRT/V = 10,35·8,314·323,1/0,05 = 556,3 kPa

Antwort

P = 556,3 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 40,75 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 308,1 K, T₂ = 523,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/250)·(523,1/308,1) = 40,75 L

Antwort

V₂ = 40,75 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 45,12 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·2,1·(120 − 90) = 157,5 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 157,5/(1,5·4,18) = 45,12 °C

Antwort

t_out = 45,12 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,922 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1,5·2,1·(130 − 70) = 189 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·189 = 160,7 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 160,7/(4,18·20) = 1,922 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,922 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_max = 49,26 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 275 + 273,15 = 548,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/548,1 = 49,26 %

Antwort

η_max = 49,26 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_m = 532,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 1050 + 273,15 = 1323 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Gleiche Arbeit

W = Q·(1 − T_low/T_high), und Q/T ist an jedem Reservoir gleich, also ist W proportional zum Temperaturgefälle.

T_m = (1323 + 288,1)/2 = 805,7 K = 532,5 °C

Antwort

T_m = 532,5 °C

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 2971 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 305·19^0,4 = 990,4 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 3·990,4 = 2971 K

Antwort

T₃ = 2971 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 243 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 310·10^0,2857 = 598,5 K

T₄ = 1100/10^0,2857 = 569,7 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(598,5 − 310) = 290 kJ/kg

w_t = 1,005·(1100 − 569,7) = 532,9 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 532,9 − 290 = 243 kJ/kg

Antwort

w_net = 243 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 54,41%.

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