Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 10 L enthält 480 g He bei 70 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 480 gM = 4,003 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge CH₄ geht von 300 kPa, 5 L, 40 °C über zu 750 kPa und 120 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 110 °Ct: 30 → 90 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 800 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 40 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 39 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad η_II, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

T_H = 800 °CT_L = 40 °Cη = 39%

η_II = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -25 °C in einer Küche mit 25 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 1 kW. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COP_max.

T_H = 25 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 1 kW

COP_max =

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 17r_c = 2,2T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 295 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 34210 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 480/4,003 = 119,9 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Druck

P = nRT/V = 119,9·8,314·343,1/0,01 = 34210 kPa

Antwort

P = 34210 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 2,511 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 313,1 K, T₂ = 393,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(300/750)·(393,1/313,1) = 2,511 L

Antwort

V₂ = 2,511 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 41,72 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,1·(140 − 70) = 147 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 147/(3·4,18) = 41,72 °C

Antwort

t_out = 41,72 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,356 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 3·2,1·(170 − 110) = 378 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·378 = 340,2 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 340,2/(4,18·60) = 1,356 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,356 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_II = 55,07 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_Carnot = 1 − 313,1/1073 = 70,82 %

Exergetischer Wirkungsgrad

η_II = η/η_Carnot = 39/70,82 = 55,07 %

Antwort

η_II = 55,07 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COP_max = 4,963

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(298,1 − 248,1) = 4,963

Antwort

COP_max = 4,963

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1124 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 300·17^0,4 = 931,8 K

T₃ = 2,2·931,8 = 2050 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2050 − 931,8) = 1124 kJ/kg

Antwort

q_in = 1124 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 465,7 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 295·20^0,2857 = 694,3 K

T₄ = 1500/20^0,2857 = 637,3 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(694,3 − 295) = 401,3 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 637,3) = 867 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 867 − 401,3 = 465,7 kJ/kg

Antwort

w_net = 465,7 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 46,29%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1