Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
290 g HeV = 20 LT = 90 °CP = ?

Ein Behälter mit 20 L enthält 290 g He bei 90 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 290 gM = 4,003 g/molV = 20 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
CO₂, M = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 200 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 250 kPa und 200 °C als ideales Gas.

M = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 200 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 170 °C100 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 120 °C70 °CWasser · 20 °C90 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Ct: 20 → 90 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 750 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​η = 45%

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 750 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 35 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 45 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad ηII, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

TH = 750 °CTL = 35 °Cη = 45%
ηII = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
500 °CTm​ = ?30 °CABWA​WB​

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 500 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur Tm ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 30 °C ab. Beide Maschinen haben denselben thermischen Wirkungsgrad. Bestimme Tm in °C.

TH = 500 °CTL = 30 °C
Tm = °C
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 16rc = 1,8T1 = 320 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 12T1 = 295 KT3 = 1300 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 10937 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 290/4,003 = 72,45 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Druck

P = nRT/V = 72,45·8,314·363,1/0,02 = 10937 kPa

Antwort

P = 10937 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 2,797 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 200 + 273,15 = 473,1 K

Dichte

ρ = 250·44,01/(8,314·473,1) = 2,797 kg/m³

Antwort

ρ = 2,797 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 40,14 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·3,6·(170 − 100) = 126 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 126/(1·4,18) = 40,14 °C

Antwort

tout = 40,14 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,1705 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·2,1·(120 − 70) = 52,5 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·52,5 = 49,88 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 49,88/(4,18·70) = 0,1705 kg/s

Antwort

ṁc = 0,1705 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηII = 64,39 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 750 + 273,15 = 1023 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηCarnot = 1 − 308,1/1023 = 69,88 %

Exergetischer Wirkungsgrad

ηII = η/ηCarnot = 45/69,88 = 64,39 %

Antwort

ηII = 64,39 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Tm = 211 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 500 + 273,15 = 773,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Gleiche Wirkungsgrade

Aus 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm folgt Tm² = TH·TL.

Tm = √(773,1·303,1) = 484,1 K = 211 °C

Antwort

Tm = 211 °C
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1746 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 320·160,4 = 970,1 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·970,1 = 1746 K

Antwort

T3 = 1746 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 357,6 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 295·120,2857 = 600 K
T4 = 1300/120,2857 = 639,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(600 − 295) = 306,5 kJ/kg
wt = 1,005·(1300 − 639,2) = 664,1 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 664,1 − 306,5 = 357,6 kJ/kg

Antwort

wnet = 357,6 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 46,15%.

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