Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
390 g CH₄V = 20 LT = 100 °CP = ?

Ein Behälter mit 20 L enthält 390 g CH₄ bei 100 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 390 gM = 16,04 g/molV = 20 LT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge CH₄ geht von 350 kPa, 10 L, 40 °C über zu 500 kPa und 130 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 350 kPaV1 = 10 LT1 = 40 °CP2 = 500 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 150 °C80 °CWasser · 20 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 130 °C80 °CWasser · 10 °C50 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 3 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Ct: 10 → 50 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 35 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 2,5 kWẆ

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -20 °C, indem sie 2,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 35 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇H, den sie abgibt.

TL = -20 °CTH = 35 °CQ̇L = 2,5 kW
Q̇H = kW
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 45 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 9,5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe gibt 9,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 45 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 2 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 55 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

TH = 45 °CTL = 2 °CηII = 55%Q̇H = 9,5 kW
Ẇ = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 17rc = 1,8T1 = 295 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 12T1 = 288 KT3 = 1500 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 3772 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 390/16,04 = 24,31 mol
T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Druck

P = nRT/V = 24,31·8,314·373,1/0,02 = 3772 kPa

Antwort

P = 3772 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 9,012 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 313,1 K, T2 = 403,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(350/500)·(403,1/313,1) = 9,012 L

Antwort

V2 = 9,012 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 55,17 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·2,1·(150 − 80) = 441 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 441/(3·4,18) = 55,17 °C

Antwort

tout = 55,17 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 3,068 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 3·3,6·(130 − 80) = 540 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·540 = 513 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 513/(4,18·40) = 3,068 kg/s

Antwort

ṁc = 3,068 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇H = 3,043 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = -20 + 273,15 = 253,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 2,5·308,1/253,1 = 3,043 kW

Antwort

Q̇H = 3,043 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,5432 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 2,335 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 45 + 273,15 = 318,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COPmax = 318,1/(318,1 − 275,1) = 7,399
COP = 0,55·7,399 = 4,069

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇H/COP = 9,5/4,069 = 2,335 kW

Antwort

Ẇ = 2,335 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1649 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 295·170,4 = 916,2 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·916,2 = 1649 K

Antwort

T3 = 1649 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 467,1 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 288·120,2857 = 585,8 K
T4 = 1500/120,2857 = 737,5 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(585,8 − 288) = 299,3 kJ/kg
wt = 1,005·(1500 − 737,5) = 766,3 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 766,3 − 299,3 = 467,1 kJ/kg

Antwort

wnet = 467,1 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 39,05%.

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