Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
90 g CH₄P = 400 kPaT = 95 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 90 g CH₄ bei 400 kPa und 95 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 90 gM = 16,04 g/molP = 400 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge Ar geht von 250 kPa, 5 L, 15 °C über zu 400 kPa und 130 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 250 kPaV1 = 5 LT1 = 15 °CP2 = 400 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 120 °C90 °CWasser · 30 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 160 °C110 °CWasser · 30 °C85 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 110 °Ct: 30 → 85 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 300 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​η = 35%

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 300 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 35 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad ηII, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

TH = 300 °CTL = 30 °Cη = 35%
ηII = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
600 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 600 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur Tm ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 35 °C ab. Beide Maschinen haben denselben thermischen Wirkungsgrad. Bestimme Tm in °C.

TH = 600 °CTL = 35 °C
Tm = °C
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 14 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 305 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 14rc = 1,8T1 = 305 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 80 %, die Turbine von 88 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 10T1 = 288 KT3 = 1400 Kηc = 80%ηt = 88%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 42,94 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 90/16,04 = 5,611 mol
T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Volumen

V = nRT/P = 5,611·8,314·368,1/400 = 42,94 L

Antwort

V = 42,94 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 4,372 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 288,1 K, T2 = 403,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(250/400)·(403,1/288,1) = 4,372 L

Antwort

V2 = 4,372 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 47,51 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,44·(120 − 90) = 146,4 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 146,4/(2·4,18) = 47,51 °C

Antwort

tout = 47,51 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 1,085 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2,5·2,1·(160 − 110) = 262,5 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·262,5 = 249,4 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 249,4/(4,18·55) = 1,085 kg/s

Antwort

ṁc = 1,085 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηII = 74,3 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 300 + 273,15 = 573,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηCarnot = 1 − 303,1/573,1 = 47,11 %

Exergetischer Wirkungsgrad

ηII = η/ηCarnot = 35/47,11 = 74,3 %

Antwort

ηII = 74,3 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Tm = 245,6 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Gleiche Wirkungsgrade

Aus 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm folgt Tm² = TH·TL.

Tm = √(873,1·308,1) = 518,7 K = 245,6 °C

Antwort

Tm = 245,6 °C
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1578 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 305·140,4 = 876,5 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·876,5 = 1578 K

Antwort

T3 = 1578 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 260,1 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2s = 288·100,2857 = 556 K
T4s = 1400/100,2857 = 725,1 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(556 − 288)/0,8 = 336,7 kJ/kg
wt = 0,88·1,005·(1400 − 725,1) = 596,9 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 596,9 − 336,7 = 260,1 kJ/kg

Antwort

wnet = 260,1 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 56,42%.

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