Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
80 g O₂P = 700 kPaT = 15 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 80 g O₂ bei 700 kPa und 15 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 80 gM = 32 g/molP = 700 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
CO₂, M = 44,01 g/molP = 550 kPaT = 70 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 550 kPa und 70 °C als ideales Gas.

M = 44,01 g/molP = 550 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 120 °C80 °CWasser · 15 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 160 °C100 °CWasser · 25 °C85 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Ct: 25 → 85 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 800 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​η = 50%

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 800 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 40 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 50 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad ηII, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

TH = 800 °CTL = 40 °Cη = 50%
ηII = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
800 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 800 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur Tm ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 35 °C ab. Beide Maschinen haben denselben thermischen Wirkungsgrad. Bestimme Tm in °C.

TH = 800 °CTL = 35 °C
Tm = °C
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 15rc = 1,5T1 = 290 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 16. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

rp = 16k = 1,4
η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 8,556 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 80/32 = 2,5 mol
T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Volumen

V = nRT/P = 2,5·8,314·288,1/700 = 8,556 L

Antwort

V = 8,556 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 8,484 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Dichte

ρ = 550·44,01/(8,314·343,1) = 8,484 kg/m³

Antwort

ρ = 8,484 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 115,5 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·2,1·(120 − 80) = 210 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 210/(0,5·4,18) = 115,5 °C

Antwort

tout = 115,5 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 1,13 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2,5·2,1·(160 − 100) = 315 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·315 = 283,5 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 283,5/(4,18·60) = 1,13 kg/s

Antwort

ṁc = 1,13 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηII = 70,6 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 40 + 273,15 = 313,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηCarnot = 1 − 313,1/1073 = 70,82 %

Exergetischer Wirkungsgrad

ηII = η/ηCarnot = 50/70,82 = 70,6 %

Antwort

ηII = 70,6 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Tm = 301,9 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Gleiche Wirkungsgrade

Aus 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm folgt Tm² = TH·TL.

Tm = √(1073·308,1) = 575,1 K = 301,9 °C

Antwort

Tm = 301,9 °C
7.Gaskreisprozesse

Antwort: qin = 430,5 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Temperaturen

T2 = 290·150,4 = 856,7 K
T3 = 1,5·856,7 = 1285 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

qin = 1,005·(1285 − 856,7) = 430,5 kJ/kg

Antwort

qin = 430,5 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 54,71 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/160,2857 = 1 − 1/2,208 = 54,71%

Antwort

η = 54,71%

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