Ideales Gasgesetz
- Ideales Gasgesetz
- pV = nRT
- Gaskonstante
- R = 8,314 J/(mol·K)
- Allgemeine Gasgleichung
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- Stoffmenge
- n = m/M
- Temperatur
- T[K] = T[°C] + 273,15
Technische Thermodynamik 1: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Energiebilanz
- Fühlbare Wärme
- Q = ṁ·cp·ΔT
- Latente Wärme
- Q = ṁ·hfg
- Mischen
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- Wasser
- cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
- Wirkungsgrad
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- Carnot-Wirkungsgrad
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- Leistungszahl der Kältemaschine
- COPR = QC/W
- Leistungszahl der Wärmepumpe
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- Energiebilanz
- QH = W + QC
Gaskreisprozesse
- Isentrop, Volumenverhältnis
- T2/T1 = rk−1
- Isentrop, Druckverhältnis
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- Otto-Wirkungsgrad
- η = 1 − 1/rk−1
- Diesel-Wirkungsgrad
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- Zugeführte Wärme
- Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
- Nutzarbeit des Joule-Prozesses
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- Isentrope Wirkungsgrade
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- Kaltluft-Standard
- k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)
2Übungsaufgaben
1.Ideales GasgesetzMittel
Ein Behälter mit 20 L enthält 300 g O₂ bei 20 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.
m = 300 gM = 32 g/molV = 20 LT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Eine feste Menge Ar geht von 150 kPa, 2 L, 10 °C über zu 150 kPa und 80 °C. Bestimme das neue Volumen V2.
P1 = 150 kPaV1 = 2 LT1 = 10 °CP2 = 150 kPaT2 = 80 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.
ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.
ṁh = 1 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 100 °Ct: 10 → 65 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 700 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 25 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 52 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad ηII, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.
TH = 700 °CTL = 25 °Cη = 52%
ηII = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 4100 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 800 °C auf, verrichtet 2050 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 40 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie Sgen pro Zyklus.
TH = 800 °CTL = 40 °CQH = 4100 kJW = 2050 kJ
Sgen = kJ/K
7.GaskreisprozesseMittel
Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
r = 16rc = 1,8T1 = 295 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 80 %, die Turbine von 85 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
rp = 10T1 = 290 KT3 = 1100 Kηc = 80%ηt = 85%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3Lösungen
1.Ideales Gasgesetz
Antwort: P = 1142 kPa
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Stoffmenge
n = m/M = 300/32 = 9,375 mol
T = 20 + 273,15 = 293,1 K
Druck
P = nRT/V = 9,375·8,314·293,1/0,02 = 1142 kPa
Antwort
P = 1142 kPa
2.Ideales Gasgesetz
Antwort: V2 = 2,494 L
Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.
Absolute Temperaturen
T1 = 283,1 K, T2 = 353,1 K
Allgemeine Gasgleichung
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(150/150)·(353,1/283,1) = 2,494 L
Antwort
V2 = 2,494 L
3.Energiebilanz
Antwort: tout = 39,19 °C
Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).
Vom heißen Strom abgegebene Wärme
Q = 2,5·2,44·(140 − 110) = 183 kW
Vom Wasser aufgenommene Wärme
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 183/(1,5·4,18) = 39,19 °C
Antwort
tout = 39,19 °C
4.Energiebilanz
Antwort: ṁc = 0,5637 kg/s
Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.
Abgegebene Wärme
Qh = 1·3,6·(140 − 100) = 144 kW
Wärme, die das Wasser erreicht
Qc = (1 − 0,1)·144 = 129,6 kW
Wasserstrom
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 129,6/(4,18·55) = 0,5637 kg/s
Antwort
ṁc = 0,5637 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: ηII = 74,97 %
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 700 + 273,15 = 973,1 K
TL = 25 + 273,15 = 298,1 K
Carnot-Wirkungsgrad
ηCarnot = 1 − 298,1/973,1 = 69,36 %
Exergetischer Wirkungsgrad
ηII = η/ηCarnot = 52/69,36 = 74,97 %
Antwort
ηII = 74,97 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Sgen = 2,726 kJ/K
Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert QH/TH, das kalte Reservoir gewinnt QL/TL. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.
Abgegebene Wärme
QL = QH − W = 4100 − 2050 = 2050 kJ
Absolute Temperaturen
TH = 800 + 273,15 = 1073 K
TL = 40 + 273,15 = 313,1 K
Entropieänderungen der Reservoire
ΔSH = −4100/1073 = −3,821 kJ/K
ΔSL = 2050/313,1 = 6,546 kJ/K
Sgen = 6,546 − 3,821 = 2,726 kJ/K
Antwort
Sgen = 2,726 kJ/K
Sgen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.
7.Gaskreisprozesse
Antwort: qin = 719 kJ/kg
Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Temperaturen
T2 = 295·160,4 = 894,3 K
T3 = 1,8·894,3 = 1610 K
Wärmezufuhr bei konstantem Druck
qin = 1,005·(1610 − 894,3) = 719 kJ/kg
Antwort
qin = 719 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse
Antwort: wnet = 113,9 kJ/kg
Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.
Isentrope Temperaturen
T2s = 290·100,2857 = 559,9 K
T4s = 1100/100,2857 = 569,7 K
Verdichter- und Turbinenarbeit
wc = 1,005·(559,9 − 290)/0,8 = 339,1 kJ/kg
wt = 0,85·1,005·(1100 − 569,7) = 453 kJ/kg
Nutzarbeit
wnet = 453 − 339,1 = 113,9 kJ/kg
Antwort
wnet = 113,9 kJ/kg
Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 74,85%.
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