Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 50 L enthält 120 g O₂ bei 60 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 120 gM = 32 g/molV = 50 LT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von O₂ bei 900 kPa und 50 °C als ideales Gas.

M = 32 g/molP = 900 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 60 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 130 °Ct: 30 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 4800 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 325 °C auf und gibt 2473 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 325 °CQ_H = 4800 kJQ_L = 2473 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 21 °C, während es draußen 7 °C sind, und liefert 9 kW Wärme an das Haus. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COP_max.

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 9 kW

COP_max =

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 22r_c = 3k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1200 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 288 KT₃ = 1200 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 207,7 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 120/32 = 3,75 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Druck

P = nRT/V = 3,75·8,314·333,1/0,05 = 207,7 kPa

Antwort

P = 207,7 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 10,72 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Dichte

ρ = 900·32/(8,314·323,1) = 10,72 kg/m³

Antwort

ρ = 10,72 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 119,7 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·3,6·(170 − 60) = 198 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 198/(0,5·4,18) = 119,7 °C

Antwort

t_out = 119,7 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 2,455 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 3·3,6·(160 − 130) = 324 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·324 = 307,8 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 307,8/(4,18·30) = 2,455 kg/s

Antwort

ṁ_c = 2,455 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 35,02 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598,1·2473/4800 = 308,2 K = 35,02 °C

Antwort

T_L = 35,02 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COP_max = 21,01

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 280,1) = 21,01

Antwort

COP_max = 21,01

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 62,08 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,2904·1,306 = 62,08%

Antwort

η = 62,08%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 230,1 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 288·8^0,2857 = 521,7 K

T_4s = 1200/8^0,2857 = 662,5 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(521,7 − 288)/0,88 = 266,9 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1200 − 662,5) = 497 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 497 − 266,9 = 230,1 kJ/kg

Antwort

w_net = 230,1 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 53,7%.

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