Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 10 L enthält 480 g He bei 10 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 480 gM = 4,003 g/molV = 10 LT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von Ar bei 200 kPa und 90 °C als ideales Gas.

M = 39,95 g/molP = 200 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 70 °Ct: 15 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 375 °C und einem kalten Reservoir mit 20 °C. Sie nimmt 1600 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 375 °CT_L = 20 °CQ_H = 1600 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 2300 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 800 °C auf, verrichtet 989 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 30 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie S_gen pro Zyklus.

T_H = 800 °CT_L = 30 °CQ_H = 2300 kJW = 989 kJ

S_gen = kJ/K

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 20r_c = 2T₁ = 320 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 20k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 28228 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 480/4,003 = 119,9 mol

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Druck

P = nRT/V = 119,9·8,314·283,1/0,01 = 28228 kPa

Antwort

P = 28228 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 2,646 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Dichte

ρ = 200·39,95/(8,314·363,1) = 2,646 kg/m³

Antwort

ρ = 2,646 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 38,35 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,44·(180 − 100) = 195,2 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 195,2/(2·4,18) = 38,35 °C

Antwort

t_out = 38,35 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 3,411 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·3,6·(180 − 70) = 792 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·792 = 712,8 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 712,8/(4,18·50) = 3,411 kg/s

Antwort

ṁ_c = 3,411 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 876,3 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 375 + 273,15 = 648,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/648,1 = 54,77 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,5477·1600 = 876,3 kJ

Antwort

W_max = 876,3 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: S_gen = 2,181 kJ/K

Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert Q_H/T_H, das kalte Reservoir gewinnt Q_L/T_L. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.

Abgegebene Wärme

Q_L = Q_H − W = 2300 − 989 = 1311 kJ

Absolute Temperaturen

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Entropieänderungen der Reservoire

ΔS_H = −2300/1073 = −2,143 kJ/K

ΔS_L = 1311/303,1 = 4,325 kJ/K

S_gen = 4,325 − 2,143 = 2,181 kJ/K

Antwort

S_gen = 2,181 kJ/K

S_gen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 2121 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 320·20^0,4 = 1061 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2·1061 = 2121 K

Antwort

T₃ = 2121 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 57,51 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/20^0,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Antwort

η = 57,51%

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