Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
190 g HeP = 100 kPaT = 70 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 190 g He bei 100 kPa und 70 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 190 gM = 4,003 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
CH₄, M = 16,04 g/molP = 600 kPaT = 0 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 600 kPa und 0 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 600 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 180 °C140 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 140 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C90 °CWasser · 30 °C65 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 90 °Ct: 30 → 65 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 200 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​W

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 200 °C und einem kalten Reservoir mit 30 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad ηmax.

TH = 200 °CTL = 30 °C
ηmax = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 22 °CTL​ = 0 °CHPQ̇H​ = 6 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 22 °C, während es draußen 0 °C sind, und liefert 6 kW Wärme an das Haus. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 22 °CTL = 0 °CQ̇H = 6 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 17rc = 3T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1200 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 8T1 = 290 KT3 = 1200 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 1354 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 190/4,003 = 47,46 mol
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Volumen

V = nRT/P = 47,46·8,314·343,1/100 = 1354 L

Antwort

V = 1354 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 4,238 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Dichte

ρ = 600·16,04/(8,314·273,1) = 4,238 kg/m³

Antwort

ρ = 4,238 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 26,75 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·2,1·(180 − 140) = 210 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 210/(3·4,18) = 26,75 °C

Antwort

tout = 26,75 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 3,876 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2,5·3,6·(160 − 90) = 630 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·630 = 567 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 567/(4,18·35) = 3,876 kg/s

Antwort

ṁc = 3,876 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηmax = 35,93 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 200 + 273,15 = 473,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303,1/473,1 = 35,93 %

Antwort

ηmax = 35,93 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,4472 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 22 + 273,15 = 295,1 K
TL = 0 + 273,15 = 273,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 295,1/(295,1 − 273,1) = 13,42

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇H/COP = 6/13,42 = 0,4472 kW

Antwort

Ẇmin = 0,4472 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 2888 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 310·170,4 = 962,8 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 3·962,8 = 2888 K

Antwort

T3 = 2888 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 303,7 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 290·80,2857 = 525,3 K
T4 = 1200/80,2857 = 662,5 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(525,3 − 290) = 236,5 kJ/kg
wt = 1,005·(1200 − 662,5) = 540,2 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 540,2 − 236,5 = 303,7 kJ/kg

Antwort

wnet = 303,7 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 43,78%.

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