Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 180 g CH₄ bei 250 kPa und 95 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 180 gM = 16,04 g/molP = 250 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von Ar bei 450 kPa und 100 °C als ideales Gas.

M = 39,95 g/molP = 450 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Ct: 20 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 1500 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 250 °C auf und gibt 855 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 250 °CQ_H = 1500 kJQ_L = 855 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 160 kW Wärme aus einer Quelle mit 800 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit 0 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 30 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 800 °CT₀ = 30 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 160 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 18r_c = 2T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 18. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 295 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 137,4 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 180/16,04 = 11,22 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Volumen

V = nRT/P = 11,22·8,314·368,1/250 = 137,4 L

Antwort

V = 137,4 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 5,795 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Dichte

ρ = 450·39,95/(8,314·373,1) = 5,795 kg/m³

Antwort

ρ = 5,795 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 63,49 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·2,1·(120 − 80) = 210 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 210/(1,5·4,18) = 63,49 °C

Antwort

t_out = 63,49 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 2,426 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2,5·2,44·(130 − 60) = 427 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·427 = 405,6 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 405,6/(4,18·40) = 2,426 kg/s

Antwort

ṁ_c = 2,426 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 25,05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 523,1·855/1500 = 298,2 K = 25,05 °C

Antwort

T_L = 25,05 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 1045 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T₀ = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 303,1/1073 = 0,7175

Ẇ = 0,7175·160 = 114,8 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 273,1/(303,1 − 273,1) = 9,105

Q̇_L = 9,105·114,8 = 1045 kW

Antwort

Q̇_L = 1045 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 990 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

T₃ = 2·985,1 = 1970 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(1970 − 985,1) = 990 kJ/kg

Antwort

q_in = 990 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 243,2 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 295·18^0,2857 = 673,7 K

T_4s = 1300/18^0,2857 = 569,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(673,7 − 295)/0,88 = 432,5 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1300 − 569,2) = 675,7 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 675,7 − 432,5 = 243,2 kJ/kg

Antwort

w_net = 243,2 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 64,01%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1