Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 5 L enthält 370 g Ar bei 90 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 370 gM = 39,95 g/molV = 5 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge CH₄ geht von 100 kPa, 10 L, 20 °C über zu 500 kPa und 90 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 20 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Ct: 30 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3600 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 725 °C auf und gibt 1111 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 725 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1111 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -10 °C in einer Küche mit 25 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 4 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇ_min.

T_H = 25 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 20r_c = 2T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 288 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 5593 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 370/39,95 = 9,262 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Druck

P = nRT/V = 9,262·8,314·363,1/0,005 = 5593 kPa

Antwort

P = 5593 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 2,478 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 293,1 K, T₂ = 363,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/500)·(363,1/293,1) = 2,478 L

Antwort

V₂ = 2,478 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 54,45 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·3,6·(120 − 90) = 216 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 216/(1,5·4,18) = 54,45 °C

Antwort

t_out = 54,45 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,6029 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1·2,1·(120 − 60) = 126 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·126 = 113,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 113,4/(4,18·45) = 0,6029 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,6029 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 34,89 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 725 + 273,15 = 998,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 998,1·1111/3600 = 308 K = 34,89 °C

Antwort

T_L = 34,89 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ_min = 0,532 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263,1/(298,1 − 263,1) = 7,519

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/7,519 = 0,532 kW

Antwort

Ẇ_min = 0,532 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 966 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 290·20^0,4 = 961,2 K

T₃ = 2·961,2 = 1922 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(1922 − 961,2) = 966 kJ/kg

Antwort

q_in = 966 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 365,8 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 288·15^0,2857 = 624,3 K

T₄ = 1300/15^0,2857 = 599,7 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(624,3 − 288) = 338 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 599,7) = 703,8 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 703,8 − 338 = 365,8 kJ/kg

Antwort

w_net = 365,8 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 48,03%.

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