Ideales Gasgesetz
- Ideales Gasgesetz
- pV = nRT
- Gaskonstante
- R = 8,314 J/(mol·K)
- Allgemeine Gasgleichung
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- Stoffmenge
- n = m/M
- Temperatur
- T[K] = T[°C] + 273,15
Technische Thermodynamik 1: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Energiebilanz
- Fühlbare Wärme
- Q = ṁ·cp·ΔT
- Latente Wärme
- Q = ṁ·hfg
- Mischen
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- Wasser
- cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
- Wirkungsgrad
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- Carnot-Wirkungsgrad
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- Leistungszahl der Kältemaschine
- COPR = QC/W
- Leistungszahl der Wärmepumpe
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- Energiebilanz
- QH = W + QC
Gaskreisprozesse
- Isentrop, Volumenverhältnis
- T2/T1 = rk−1
- Isentrop, Druckverhältnis
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- Otto-Wirkungsgrad
- η = 1 − 1/rk−1
- Diesel-Wirkungsgrad
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- Zugeführte Wärme
- Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
- Nutzarbeit des Joule-Prozesses
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- Isentrope Wirkungsgrade
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- Kaltluft-Standard
- k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)
2Übungsaufgaben
1.Ideales GasgesetzMittel
Welches Volumen V nehmen 310 g CH₄ bei 400 kPa und 15 °C ein? Behandle es als ideales Gas.
m = 310 gM = 16,04 g/molP = 400 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Bestimme die Dichte ρ von He bei 150 kPa und 0 °C als ideales Gas.
M = 4,003 g/molP = 150 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.
ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 100 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.
ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 90 °Ct: 15 → 60 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 250 °C und einem kalten Reservoir mit 30 °C. Sie nimmt 900 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.
TH = 250 °CTL = 30 °CQH = 900 kJ
Wmax = kJ
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -25 °C in einer Küche mit 32 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 2,5 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.
TH = 32 °CTL = -25 °CQ̇L = 2,5 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
r = 20rc = 2,2T1 = 290 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 80 %, die Turbine von 90 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
rp = 15T1 = 300 KT3 = 1300 Kηc = 80%ηt = 90%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3Lösungen
1.Ideales Gasgesetz
Antwort: V = 115,8 L
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Stoffmenge
n = 310/16,04 = 19,33 mol
T = 15 + 273,15 = 288,1 K
Volumen
V = nRT/P = 19,33·8,314·288,1/400 = 115,8 L
Antwort
V = 115,8 L
2.Ideales Gasgesetz
Antwort: ρ = 0,2644 kg/m³
Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).
Gasgesetz umstellen
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 0 + 273,15 = 273,1 K
Dichte
ρ = 150·4,003/(8,314·273,1) = 0,2644 kg/m³
Antwort
ρ = 0,2644 kg/m³
3.Energiebilanz
Antwort: tout = 68,96 °C
Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).
Vom heißen Strom abgegebene Wärme
Q = 2,5·2,1·(170 − 100) = 367,5 kW
Vom Wasser aufgenommene Wärme
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 367,5/(2·4,18) = 68,96 °C
Antwort
tout = 68,96 °C
4.Energiebilanz
Antwort: ṁc = 2,713 kg/s
Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.
Abgegebene Wärme
Qh = 3·2,1·(180 − 90) = 567 kW
Wärme, die das Wasser erreicht
Qc = (1 − 0,1)·567 = 510,3 kW
Wasserstrom
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 510,3/(4,18·45) = 2,713 kg/s
Antwort
ṁc = 2,713 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Wmax = 378,5 kJ
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 250 + 273,15 = 523,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K
Carnot-Wirkungsgrad
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303,1/523,1 = 42,05 %
Maximale Arbeit
Wmax = ηmax·QH = 0,4205·900 = 378,5 kJ
Antwort
Wmax = 378,5 kJ
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Ẇmin = 0,5742 kW
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 32 + 273,15 = 305,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K
Bestmögliche Leistungszahl
COPR,max = TL/(TH − TL) = 248,1/(305,1 − 248,1) = 4,354
Minimale Leistung
Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.
Ẇmin = Q̇L/COP = 2,5/4,354 = 0,5742 kW
Antwort
Ẇmin = 0,5742 kW
7.Gaskreisprozesse
Antwort: qin = 1159 kJ/kg
Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Temperaturen
T2 = 290·200,4 = 961,2 K
T3 = 2,2·961,2 = 2115 K
Wärmezufuhr bei konstantem Druck
qin = 1,005·(2115 − 961,2) = 1159 kJ/kg
Antwort
qin = 1159 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse
Antwort: wnet = 193,3 kJ/kg
Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.
Isentrope Temperaturen
T2s = 300·150,2857 = 650,4 K
T4s = 1300/150,2857 = 599,7 K
Verdichter- und Turbinenarbeit
wc = 1,005·(650,4 − 300)/0,8 = 440,1 kJ/kg
wt = 0,9·1,005·(1300 − 599,7) = 633,4 kJ/kg
Nutzarbeit
wnet = 633,4 − 440,1 = 193,3 kJ/kg
Antwort
wnet = 193,3 kJ/kg
Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 69,48%.
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