Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
160 g ArP = 100 kPaT = 90 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 160 g Ar bei 100 kPa und 90 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 160 gM = 39,95 g/molP = 100 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
O₂, M = 32 g/molP = 550 kPaT = 110 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von O₂ bei 550 kPa und 110 °C als ideales Gas.

M = 32 g/molP = 550 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 160 °C60 °CWasser · 15 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 170 °C140 °CWasser · 30 °C90 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 170 → 140 °Ct: 30 → 90 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 650 °CTL​ = ?EQH​ = 3700 kJQL​ = 1215 kJW

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3700 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 650 °C auf und gibt 1215 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.

TH = 650 °CQH = 3700 kJQL = 1215 kJ
TL = °C
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 35 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​Q̇L​ = 2,5 kWẆ = ?

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -18 °C in einer Küche mit 35 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 2,5 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 35 °CTL = -18 °CQ̇L = 2,5 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 17rc = 1,5T1 = 295 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 8T1 = 310 KT3 = 1100 Kηc = 88%ηt = 92%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 120,9 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 160/39,95 = 4,005 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volumen

V = nRT/P = 4,005·8,314·363,1/100 = 120,9 L

Antwort

V = 120,9 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 5,525 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Dichte

ρ = 550·32/(8,314·383,1) = 5,525 kg/m³

Antwort

ρ = 5,525 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 115,5 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·2,1·(160 − 60) = 630 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 630/(1,5·4,18) = 115,5 °C

Antwort

tout = 115,5 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,1313 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·2,44·(170 − 140) = 36,6 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·36,6 = 32,94 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 32,94/(4,18·60) = 0,1313 kg/s

Antwort

ṁc = 0,1313 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: TL = 29,99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperatur der Quelle

TH = 650 + 273,15 = 923,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

TL = TH·QL/QH = 923,1·1215/3700 = 303,1 K = 29,99 °C

Antwort

TL = 29,99 °C
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,5193 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = -18 + 273,15 = 255,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 255,1/(308,1 − 255,1) = 4,814

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇L/COP = 2,5/4,814 = 0,5193 kW

Antwort

Ẇmin = 0,5193 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1374 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 295·170,4 = 916,2 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,5·916,2 = 1374 K

Antwort

T3 = 1374 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 168,3 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2s = 310·80,2857 = 561,5 K
T4s = 1100/80,2857 = 607,2 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(561,5 − 310)/0,88 = 287,3 kJ/kg
wt = 0,92·1,005·(1100 − 607,2) = 455,6 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 455,6 − 287,3 = 168,3 kJ/kg

Antwort

wnet = 168,3 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 63,06%.

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