Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 500 g He bei 600 kPa und 40 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 500 gM = 4,003 g/molP = 600 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge O₂ geht von 300 kPa, 20 L, 10 °C über zu 750 kPa und 70 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 10 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -20 °C, indem sie 1,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = -20 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 1,5 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 11 kW Wärme an ein Heizsystem mit 45 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 0 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 50 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 45 °CT_L = 0 °Cη_II = 50%Q̇_H = 11 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 20r_c = 3T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 12k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 542 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 500/4,003 = 124,9 mol

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Volumen

V = nRT/P = 124,9·8,314·313,1/600 = 542 L

Antwort

V = 542 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 9,695 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 283,1 K, T₂ = 343,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/750)·(343,1/283,1) = 9,695 L

Antwort

V₂ = 9,695 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 115,4 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,1·(120 − 60) = 189 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 189/(0,5·4,18) = 115,4 °C

Antwort

t_out = 115,4 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,041 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,1·(130 − 70) = 252 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·252 = 239,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 239,4/(4,18·55) = 1,041 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,041 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 1,796 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1,5·303,1/253,1 = 1,796 kW

Antwort

Q̇_H = 1,796 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,2963 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 3,112 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 318,1/(318,1 − 273,1) = 7,07

COP = 0,5·7,07 = 3,535

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 11/3,535 = 3,112 kW

Antwort

Ẇ = 3,112 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 2933 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 295·20^0,4 = 977,8 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 3·977,8 = 2933 K

Antwort

T₃ = 2933 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 50,83 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/12^0,2857 = 1 − 1/2,034 = 50,83%

Antwort

η = 50,83%

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