Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 20 L enthält 470 g O₂ bei 10 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 470 gM = 32 g/molV = 20 LT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge He geht von 250 kPa, 2 L, 25 °C über zu 450 kPa und 80 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 2 LT₁ = 25 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 70 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 110 °Ct: 25 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 400 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 10 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 38 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad η_II, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

T_H = 400 °CT_L = 10 °Cη = 38%

η_II = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 8 kW Wärme an ein Heizsystem mit 35 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 7 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 55 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 35 °CT_L = 7 °Cη_II = 55%Q̇_H = 8 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 15r_c = 1,5T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 82 %, die Turbine von 85 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 295 KT₃ = 1400 Kη_c = 82%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 1729 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 470/32 = 14,69 mol

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Druck

P = nRT/V = 14,69·8,314·283,1/0,02 = 1729 kPa

Antwort

P = 1729 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 1,316 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 298,1 K, T₂ = 353,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(250/450)·(353,1/298,1) = 1,316 L

Antwort

V₂ = 1,316 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 93,73 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·2,1·(170 − 70) = 525 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 525/(1,5·4,18) = 93,73 °C

Antwort

t_out = 93,73 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 2,847 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,1·(160 − 110) = 210 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·210 = 178,5 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 178,5/(4,18·15) = 2,847 kg/s

Antwort

ṁ_c = 2,847 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_II = 65,59 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_Carnot = 1 − 283,1/673,1 = 57,94 %

Exergetischer Wirkungsgrad

η_II = η/η_Carnot = 38/57,94 = 65,59 %

Antwort

η_II = 65,59 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 1,322 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 308,1/(308,1 − 280,1) = 11,01

COP = 0,55·11,01 = 6,053

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 8/6,053 = 1,322 kW

Antwort

Ẇ = 1,322 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 1307 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 295·15^0,4 = 871,5 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·871,5 = 1307 K

Antwort

T₃ = 1307 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 198,4 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 295·20^0,2857 = 694,3 K

T_4s = 1400/20^0,2857 = 594,8 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(694,3 − 295)/0,82 = 489,4 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1400 − 594,8) = 687,8 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 687,8 − 489,4 = 198,4 kJ/kg

Antwort

w_net = 198,4 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 71,15%.

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