Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 50 g CH₄ bei 200 kPa und 90 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 50 gM = 16,04 g/molP = 200 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 100 kPa und 160 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 100 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 60 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Ct: 30 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 475 °C und einem kalten Reservoir mit 35 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad η_max.

T_H = 475 °CT_L = 35 °C

η_max = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 850 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur T_m ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 15 °C ab. Beide Maschinen haben denselben thermischen Wirkungsgrad. Bestimme T_m in °C.

T_H = 850 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 19r_c = 3T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1200 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 300 KT₃ = 1200 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 47,06 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 50/16,04 = 3,117 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volumen

V = nRT/P = 3,117·8,314·363,1/200 = 47,06 L

Antwort

V = 47,06 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 0,4454 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Dichte

ρ = 100·16,04/(8,314·433,1) = 0,4454 kg/m³

Antwort

ρ = 0,4454 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 49,46 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,44·(160 − 60) = 244 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 244/(3·4,18) = 49,46 °C

Antwort

t_out = 49,46 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,583 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,1·(130 − 60) = 294 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·294 = 264,6 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 264,6/(4,18·40) = 1,583 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,583 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_max = 58,81 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 475 + 273,15 = 748,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/748,1 = 58,81 %

Antwort

η_max = 58,81 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_m = 295,7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 850 + 273,15 = 1123 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Gleiche Wirkungsgrade

Aus 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m folgt T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(1123·288,1) = 568,9 K = 295,7 °C

Antwort

T_m = 295,7 °C

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1958 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 300·19^0,4 = 974,1 K

T₃ = 3·974,1 = 2922 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2922 − 974,1) = 1958 kJ/kg

Antwort

q_in = 1958 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 285,5 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 300·20^0,2857 = 706,1 K

T₄ = 1200/20^0,2857 = 509,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(706,1 − 300) = 408,1 kJ/kg

w_t = 1,005·(1200 − 509,9) = 693,6 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 693,6 − 408,1 = 285,5 kJ/kg

Antwort

w_net = 285,5 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 58,84%.

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