Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 0,9 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.
T = 0,9 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 3,1 kg an einer Feder mit k = 280 N/m wird um 11 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme die Gesamtenergie E der Schwingung.
m = 3,1 kgk = 280 N/mA = 11 cm
E = J
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Ein kleiner Lautsprecher strahlt 0,1 W Schallleistung gleichmäßig in alle Richtungen ab. Bestimme den Schallpegel β in 10 m Entfernung.
P = 0,1 Wr = 10 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Ein ruhender Sensor sendet Ultraschall von 35 kHz auf ein Auto, das sich mit 10 m/s nähert, und mischt das Echo mit dem gesendeten Signal. Bestimme die Schwebungsfrequenz fb (Schallgeschwindigkeit 343 m/s).
f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: L = 0,2013 m
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Nach der Länge auflösen
L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m
Antwort
L = 0,2013 m
2.Federn & Pendel
Antwort: E = 1,694 J
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(280/3,1) = 9,504 rad/s
Energie
E = ½·k·A² = ½·280·0,11² = 1,694 J
Antwort
E = 1,694 J
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: β = 79,01 dB
Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).
Intensität
I = P/(4πr²) = 7,958 × 10⁻⁵ W/m²
Stufe
β = 10·log₁₀(7,958 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 79,01 dB
Antwort
β = 79,01 dB
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: fb = 2102 Hz
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Frequenz am Auto
f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz
Frequenz des Echos
f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz
Schwebungsfrequenz
fb = |f″ − f| = 2102 Hz
Antwort
fb = 2102 Hz
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