Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel
T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel
T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit
v = fλ, T = 1/f
Saite
v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle
I = P/(4πr²)
Stehende Wellen
Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Brechzahl
n = c/v, λ = λ0/n
Snelliussches Brechungsgesetz
n1sin θ1 = n2sin θ2
Grenzwinkel
sin θc = n2/n1
Glasfaser
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Linsen und Spiegel
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doppelspalt
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Gitter
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Einzelspalt
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

  1. Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
  2. Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
  4. Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel
L = ?

Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 1,6 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Federn & PendelSchwer
mk = 350 N/mA = 19 cmx = 1 cm

Eine Masse an einer Feder mit k = 350 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 19 cm. Bestimme ihre kinetische Energie K, wenn sie 1 cm von der Ruhelage entfernt ist.

k = 350 N/mA = 19 cmx = 1 cm
K = J
3.Wellen, Schall & OptikMittel
L = ?n = 7

Eine einseitig geschlossene Pfeife soll ihre Schwingung „7. Harmonische“ bei 750 Hz haben. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Länge L der Pfeife.

v = 343 m/sn = 7f7 = 750 Hz
L = m
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
f1​ = 8 cmf2​ = 8 cm40 cm60 cm

Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 60 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 8 cm und Linse 2 mit f₂ = 8 cm. Ein Gegenstand steht 40 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).

f1 = 8 cmf2 = 8 cms = 60 cmdo = 40 cm
di2 = cm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: L = 0,6361 m

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Nach der Länge auflösen

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Antwort

L = 0,6361 m
2.Federn & Pendel

Antwort: K = 6,3 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Gesamtenergie

E = ½·k·A² = ½·350·0,19² = 6,317 J

Federenergie bei x

U = ½·k·x² = ½·350·0,01² = 0,0175 J

Kinetische Energie

K = 6,317 − 0,0175 = 6,3 J

Antwort

K = 6,3 J
3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: L = 0,8003 m

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge

λ = v/f = 343/750 = 0,4573 m

Länge

L = nλ/4 = 7·0,4573/4 = 0,8003 m

Antwort

L = 0,8003 m
4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: di2 = 9,524 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Bild von Linse 1

1/di1 = 1/8 − 1/40 → di1 = 10 cm

Gegenstand für Linse 2

do2 = 60 − 10 = 50 cm

Endgültiges Bild

1/di2 = 1/8 − 1/50 → di2 = 9,524 cm

Antwort

di2 = 9,524 cm

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