Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Eine Masse von 1,1 kg an einer Feder mit k = 390 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 16 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 7 cm von der Ruhelage entfernt ist.

m = 1,1 kgk = 390 N/mA = 16 cmx = 7 cm

v = m/s

2.Federn & PendelSchwer

Eine Masse von 3,6 kg an einer Feder mit k = 170 N/m wird um 4 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Beschleunigung a_max.

m = 3,6 kgk = 170 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine an beiden Enden offene Pfeife soll ihre Schwingung „3. Harmonische“ bei 792 Hz haben. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Länge L der Pfeife.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 792 Hz

L = m

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Licht der Wellenlänge 650 nm fällt auf zwei Spalte im Abstand von 0,5 mm. Der Schirm ist 1 m entfernt. Bestimme den Abstand Δy zwischen benachbarten hellen Streifen.

λ = 650 nmd = 0,5 mmL = 1 m

Δy = mm

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: v = 2,709 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(390/1,1) = 18,83 rad/s

Geschwindigkeit bei x

v = ω·√(A² − x²) = 18,83·√(0,16² − 0,07²) = 2,709 m/s

Antwort

v = 2,709 m/s

2.Federn & Pendel

Antwort: a_max = 1,889 m/s²

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Kreisfrequenz

ω = √(170/3,6) = 6,872 rad/s

Maximale Beschleunigung

a_max = A·ω² = 0,04·6,872² = 1,889 m/s²

Antwort

a_max = 1,889 m/s²

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: L = 0,6496 m

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge

λ = v/f = 343/792 = 0,4331 m

Länge

L = nλ/2 = 3·0,4331/2 = 0,6496 m

Antwort

L = 0,6496 m

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: Δy = 1,3 mm

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Streifenabstand

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1/(0,5 × 10⁻³) = 1,3 mm

Antwort

Δy = 1,3 mm

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