Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 4 kg an einer Feder mit k = 260 N/m wird 6 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 1,4 s (mit Vorzeichen).
m = 4 kgk = 260 N/mA = 6 cmt = 1,4 s
x = cm
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse an einer Feder mit k = 460 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 13 cm. Bestimme ihre kinetische Energie K, wenn sie 4 cm von der Ruhelage entfernt ist.
k = 460 N/mA = 13 cmx = 4 cm
K = J
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine einseitig geschlossene Pfeife soll ihre Schwingung „5. Harmonische“ bei 429 Hz haben. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Länge L der Pfeife.
v = 343 m/sn = 5f5 = 429 Hz
L = m
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 650 nm geht durch einen Einzelspalt der Breite 0,05 mm. Bestimme den Winkel θ2 des dunklen Streifens Nummer 2 zur Geradeausrichtung.
λ = 650 nma = 0,05 mmm = 2
θ2 = °
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: x = 1,725 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(260/4) = 8,062 rad/s
ω·t = 8,062·1,4 = 11,29 rad
Weg
x = A·cos(ω·t) = 6·cos(11,29) = 1,725 cm
Antwort
x = 1,725 cm
2.Federn & Pendel
Antwort: K = 3,519 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Gesamtenergie
E = ½·k·A² = ½·460·0,13² = 3,887 J
Federenergie bei x
U = ½·k·x² = ½·460·0,04² = 0,368 J
Kinetische Energie
K = 3,887 − 0,368 = 3,519 J
Antwort
K = 3,519 J
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: L = 0,9994 m
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Wellenlänge
λ = v/f = 343/429 = 0,7995 m
Länge
L = nλ/4 = 5·0,7995/4 = 0,9994 m
Antwort
L = 0,9994 m
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θ2 = 1,49 °
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Bedingung für dunkle Streifen
sin θ = mλ/a = 0,026
θ = 1,49°
Antwort
θ2 = 1,49°
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