Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 2,7 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.
T = 2,7 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 1,5 kg wird am unteren Ende einer ungedehnten senkrechten Feder mit k = 420 N/m befestigt und aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Dehnung xmax der Feder in cm.
m = 1,5 kgk = 420 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Ein Gegenstand steht 20 cm vor einer dünnen zerstreuenden Linse mit einer Brennweite von 12 cm. Bestimme die Bildweite di. Verwende die Vorzeichenkonvention 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 für eine Zerstreuungslinse, di < 0 für ein virtuelles Bild).
do = 20 cmf = −12 cm
di = cm
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Eine Glasfaser hat einen Kern mit n₁ = 1,52 und einen Mantel mit n₂ = 1,5. Bestimme den größten Winkel θa zur Faserachse, unter dem Licht aus der Luft in das Faserende eintreten und noch durch Totalreflexion geführt werden kann.
n1 = 1,52n2 = 1,5n0 = 1,00
θa = °
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: L = 1,811 m
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Nach der Länge auflösen
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m
Antwort
L = 1,811 m
2.Federn & Pendel
Antwort: xmax = 7,007 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Gleichgewichtslage und Amplitude
x₀ = m·g/k = 1,5·9,81/420 = 0,03504 m = A
Tiefster Punkt
xmax = 2A = 0,07007 m = 7,007 cm
Antwort
xmax = 7,007 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: di = −7,5 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Linsengleichung für dünne Linsen
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−12) − 1/20
di = −7,5 cm
Strahlendiagramm
virtuell, auf derselben Seite wie der Gegenstand
Antwort
di = −7,5 cm
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θa = 14,23 °
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Grenzwinkel am Mantel
sin θc = 1,5/1,52 = 0,9868 → θc = 80,7°
Numerische Apertur
NA = √(1,52² − 1,5²) = 0,2458
Akzeptanzwinkel
θa = arcsin(0,2458) = 14,23°
Antwort
θa = 14,23°
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