Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 1,1 kg an einer Feder mit k = 50 N/m wird 14 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 1,1 s (mit Vorzeichen).
m = 1,1 kgk = 50 N/mA = 14 cmt = 1,1 s
x = cm
2.Federn & PendelSchwer
Ein Geschoss mit 10 g und 100 m/s trifft einen Klotz mit 3 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 1500 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
m = 10 gv = 100 m/sM = 3 kgk = 1500 N/m
A = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Ein Gegenstand steht 10 cm vor einer dünnen sammelnden Linse mit einer Brennweite von 30 cm. Bestimme die Bildweite di. Verwende die Vorzeichenkonvention 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 für eine Zerstreuungslinse, di < 0 für ein virtuelles Bild).
do = 10 cmf = 30 cm
di = cm
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 405 nm fällt senkrecht auf ein Gitter mit 1200 Linien pro Millimeter. Bestimme den Winkel θ1 des Maximums der Ordnung 1.
N = 1200 mm⁻¹λ = 405 nmm = 1
θ1 = °
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: x = 5,935 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(50/1,1) = 6,742 rad/s
ω·t = 6,742·1,1 = 7,416 rad
Weg
x = A·cos(ω·t) = 14·cos(7,416) = 5,935 cm
Antwort
x = 5,935 cm
2.Federn & Pendel
Antwort: A = 1,488 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Geschwindigkeit nach dem Aufprall
V = m·v/(m + M) = 0,01·100/3,01 = 0,3322 m/s
Kreisfrequenz
ω = √(k/(m + M)) = √(1500/3,01) = 22,32 rad/s
Amplitude
A = V/ω = 0,3322/22,32 = 0,01488 m = 1,488 cm
Antwort
A = 1,488 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: di = −15 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Linsengleichung für dünne Linsen
1/di = 1/f − 1/do = 1/30 − 1/10
di = −15 cm
Strahlendiagramm
virtuell, auf derselben Seite wie der Gegenstand
Antwort
di = −15 cm
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: θ1 = 29,08 °
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Linienabstand
d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m
Gittergleichung
sin θ = mλ/d = 1·405 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,486
θ = 29,08°
Antwort
θ1 = 29,08°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics