Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 0,7 kg an einer Feder mit k = 230 N/m wird 8 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Geschwindigkeit v bei t = 1,05 s (mit Vorzeichen).
m = 0,7 kgk = 230 N/mA = 8 cmt = 1,05 s
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 4 kg an einer Feder mit k = 50 N/m wird um 3 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
m = 4 kgk = 50 N/mA = 3 cm
vmax = m/s
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine kleine Quelle sendet Schall gleichmäßig in alle Richtungen. Der Pegel beträgt 90 dB in 2 m Entfernung. Bestimme den Pegel β2 in 10 m Entfernung, wobei Absorption und Reflexionen vernachlässigt werden.
β1 = 90 dBr1 = 2 mr2 = 10 m
β2 = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Licht der Wellenlänge 480 nm fällt auf zwei Spalte im Abstand von 0,25 mm. Der Schirm ist 1,2 m entfernt. Bestimme den Abstand y4 vom zentralen hellen Streifen zum hellen Streifen Nummer 4.
λ = 480 nmd = 0,25 mmL = 1,2 mm = 4
y4 = mm
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: v = −0,2643 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(230/0,7) = 18,13 rad/s
ω·t = 18,13·1,05 = 19,03 rad
Geschwindigkeit
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·18,13·sin(19,03) = −0,2643 m/s
Antwort
v = −0,2643 m/s
2.Federn & Pendel
Antwort: vmax = 0,1061 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(50/4) = 3,536 rad/s
Maximale Geschwindigkeit
vmax = A·ω = 0,03·3,536 = 0,1061 m/s
Antwort
vmax = 0,1061 m/s
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: β2 = 76,02 dB
Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).
Intensitätsverhältnis
I₂/I₁ = (2/10)² = 0,04
Neuer Pegel
β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,04) = 76,02 dB
Antwort
β2 = 76,02 dB
Jede Verdopplung des Abstands senkt den Pegel um etwa 6 dB.
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: y4 = 9,216 mm
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Streifenabstand
Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1,2/(0,25 × 10⁻³) = 2,304 mm
Streifen Nummer 4
y4 = 4·2,304 = 9,216 mm
Antwort
y4 = 9,216 mm
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