Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 3,3 kg an einer Feder mit k = 220 N/m wird 7 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Geschwindigkeit v bei t = 1,5 s (mit Vorzeichen).
m = 3,3 kgk = 220 N/mA = 7 cmt = 1,5 s
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse von 0,6 kg wird am unteren Ende einer ungedehnten senkrechten Feder mit k = 200 N/m befestigt und aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Dehnung xmax der Feder in cm.
m = 0,6 kgk = 200 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine kleine Quelle sendet Schall gleichmäßig in alle Richtungen. Der Pegel beträgt 60 dB in 10 m Entfernung. Bestimme den Pegel β2 in 80 m Entfernung, wobei Absorption und Reflexionen vernachlässigt werden.
β1 = 60 dBr1 = 10 mr2 = 80 m
β2 = dB
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 15 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 8 cm und Linse 2 mit f₂ = 15 cm. Ein Gegenstand steht 12 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).
f1 = 8 cmf2 = 15 cms = 15 cmdo = 12 cm
di2 = cm
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: v = 0,1792 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(220/3,3) = 8,165 rad/s
ω·t = 8,165·1,5 = 12,25 rad
Geschwindigkeit
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,07·8,165·sin(12,25) = 0,1792 m/s
Antwort
v = 0,1792 m/s
2.Federn & Pendel
Antwort: xmax = 5,886 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Gleichgewichtslage und Amplitude
x₀ = m·g/k = 0,6·9,81/200 = 0,02943 m = A
Tiefster Punkt
xmax = 2A = 0,05886 m = 5,886 cm
Antwort
xmax = 5,886 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: β2 = 41,94 dB
Wellen: Eine periodische Welle legt in einer Periode eine Wellenlänge zurück, also v = fλ mit T = 1/f. Auf einer gespannten Saite ist v = √(T/μ), wobei T die Spannkraft und μ = m/L die Masse pro Meter ist. Schall in Luft breitet sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s aus, Licht im Vakuum mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Lautstärke wird auf einer logarithmischen Skala gemessen: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB mit I₀ = 10⁻¹² W/m², sodass die zehnfache Intensität 10 dB addiert. Eine Punktquelle verteilt ihre Leistung P über eine Kugel: I = P/(4πr²).
Intensitätsverhältnis
I₂/I₁ = (10/80)² = 0,01563
Neuer Pegel
β₂ = 60 + 10·log₁₀(0,01563) = 41,94 dB
Antwort
β2 = 41,94 dB
Jede Verdopplung des Abstands senkt den Pegel um etwa 6 dB.
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: di2 = 5,625 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Bild von Linse 1
1/di1 = 1/8 − 1/12 → di1 = 24 cm
Gegenstand für Linse 2
do2 = 15 − 24 = −9 cm
Endgültiges Bild
1/di2 = 1/15 − 1/(−9) → di2 = 5,625 cm
Antwort
di2 = 5,625 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics