Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 0,6 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 0,98 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.
L = 0,6 mT = 0,98 s
g = m/s²
2.Federn & PendelSchwer
Ein Geschoss mit 5 g und 100 m/s trifft einen Klotz mit 2,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 300 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
m = 5 gv = 100 m/sM = 2,5 kgk = 300 N/m
A = cm
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine an beiden Enden eingespannte Saite soll ihre Schwingung „Grundschwingung (1. Harmonische)“ bei 83 Hz haben; Wellen laufen darauf mit 100 m/s. Bestimme ihre Länge L.
v = 100 m/sn = 1f1 = 83 Hz
L = m
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Ein ruhender Parksensor sendet Ultraschall von 30 kHz auf ein Auto, das sich mit 25 m/s nähert. Bestimme die Frequenz f″ des Echos, das am Sensor zurück empfangen wird (Schallgeschwindigkeit 343 m/s).
f = 30 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: g = 24,66 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Nach g auflösen
g = 4π²·L/T² = 4π²·0,6/0,98² = 24,66 m/s²
Antwort
g = 24,66 m/s²
2.Federn & Pendel
Antwort: A = 1,824 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Geschwindigkeit nach dem Aufprall
V = m·v/(m + M) = 0,005·100/2,505 = 0,1996 m/s
Kreisfrequenz
ω = √(k/(m + M)) = √(300/2,505) = 10,94 rad/s
Amplitude
A = V/ω = 0,1996/10,94 = 0,01824 m = 1,824 cm
Antwort
A = 1,824 cm
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: L = 0,6024 m
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Wellenlänge
λ = v/f = 100/83 = 1,205 m
Länge
L = nλ/2 = 1·1,205/2 = 0,6024 m
Antwort
L = 0,6024 m
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: f″ = 34717 Hz
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Frequenz am Auto
f′ = 30000·(343 + 25)/343 = 32187 Hz
Frequenz des Echos
f″ = f′·343/(343 − 25) = 34717 Hz
Antwort
f″ = 34717 Hz
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