Wellen und Optik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.Federn & PendelMittel

Ein Fadenpendel hat eine Länge von 0,8 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.

L = 0,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

2.Federn & PendelSchwer

Ein Geschoss mit 12 g und 150 m/s trifft einen Klotz mit 1 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 400 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.

m = 12 gv = 150 m/sM = 1 kgk = 400 N/m

A = cm

3.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine an beiden Enden eingespannte Saite ist 0,4 m lang; Wellen laufen darauf mit 180 m/s. Bestimme die Frequenz f₃ ihrer Schwingung „3. Harmonische“.

v = 180 m/sn = 3L = 0,4 m

f₃ = Hz

4.Wellen, Schall & OptikSchwer

Eine Glasfaser hat einen Kern mit n₁ = 1,48 und einen Mantel mit n₂ = 1,46. Bestimme den größten Winkel θ_a zur Faserachse, unter dem Licht aus der Luft in das Faserende eintreten und noch durch Totalreflexion geführt werden kann.

n₁ = 1,48n₂ = 1,46n₀ = 1,00

θ_a = °

3Lösungen

1.Federn & Pendel

Antwort: T = 1,794 s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Periodendauer des Pendels

T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s

Antwort

T = 1,794 s

2.Federn & Pendel

Antwort: A = 8,946 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Geschwindigkeit nach dem Aufprall

V = m·v/(m + M) = 0,012·150/1,012 = 1,779 m/s

Kreisfrequenz

ω = √(k/(m + M)) = √(400/1,012) = 19,88 rad/s

Amplitude

A = V/ω = 1,779/19,88 = 0,08946 m = 8,946 cm

Antwort

A = 8,946 cm

3.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f₃ = 675 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge dieser Schwingung

λ = 2L/n = 2·0,4/3 = 0,2667 m

Frequenz

f = v/λ = 180/0,2667 = 675 Hz

Antwort

f₃ = 675 Hz

4.Wellen, Schall & Optik

Antwort: θ_a = 14,03 °

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θ_c = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/d_o + 1/d_i mit dem Abbildungsmaßstab m = −d_i/d_o. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; d_i > 0 für ein reelles Bild, d_i < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Grenzwinkel am Mantel

sin θc = 1,46/1,48 = 0,9865 → θc = 80,57°

Numerische Apertur

NA = √(1,48² − 1,46²) = 0,2425

Akzeptanzwinkel

θ_a = arcsin(0,2425) = 14,03°

Antwort

θ_a = 14,03°

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