Federn & Pendel
- Federpendel
- T = 2π·√(m/k)
- Fadenpendel
- T = 2π·√(L/g)
- Kreisfrequenz
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energie
- E = ½·k·A²
Wellen und Optik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wellen, Schall & Optik
- Wellengeschwindigkeit
- v = fλ, T = 1/f
- Saite
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Schallpegel
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Punktquelle
- I = P/(4πr²)
- Stehende Wellen
- Saite oder offene Pfeife fn = n·v/(2L); geschlossene Pfeife fn = n·v/(4L), n ungerade
- Doppler-Effekt
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Brechzahl
- n = c/v, λ = λ0/n
- Snelliussches Brechungsgesetz
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Grenzwinkel
- sin θc = n2/n1
- Glasfaser
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Linsen und Spiegel
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppelspalt
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Gitter
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Einzelspalt
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Methode
- Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
- Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.
2Übungsaufgaben
1.Federn & PendelMittel
Eine Masse von 1,3 kg an einer Feder mit k = 460 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 14 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 2 cm von der Ruhelage entfernt ist.
m = 1,3 kgk = 460 N/mA = 14 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Federn & PendelSchwer
Eine Masse an einer Feder mit k = 360 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 6 cm. Bestimme ihre kinetische Energie K, wenn sie 2 cm von der Ruhelage entfernt ist.
k = 360 N/mA = 6 cmx = 2 cm
K = J
3.Wellen, Schall & OptikMittel
Eine an beiden Enden eingespannte Saite soll ihre Schwingung „3. Harmonische“ bei 750 Hz haben; Wellen laufen darauf mit 300 m/s. Bestimme ihre Länge L.
v = 300 m/sn = 3f3 = 750 Hz
L = m
4.Wellen, Schall & OptikSchwer
Ein Gegenstand steht 6 cm vor einem konkaven Spiegel mit dem Krümmungsradius 40 cm. Bestimme die Bildweite di, positiv für ein Bild vor dem Spiegel (reell) und negativ für eines hinter ihm (virtuell).
do = 6 cmR = 40 cm
di = cm
3Lösungen
1.Federn & Pendel
Antwort: v = 2,607 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Kreisfrequenz
ω = √(460/1,3) = 18,81 rad/s
Geschwindigkeit bei x
v = ω·√(A² − x²) = 18,81·√(0,14² − 0,02²) = 2,607 m/s
Antwort
v = 2,607 m/s
2.Federn & Pendel
Antwort: K = 0,576 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Gesamtenergie
E = ½·k·A² = ½·360·0,06² = 0,648 J
Federenergie bei x
U = ½·k·x² = ½·360·0,02² = 0,072 J
Kinetische Energie
K = 0,648 − 0,072 = 0,576 J
Antwort
K = 0,576 J
3.Wellen, Schall & Optik
Antwort: L = 0,6 m
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Wellenlänge
λ = v/f = 300/750 = 0,4 m
Länge
L = nλ/2 = 3·0,4/2 = 0,6 m
Antwort
L = 0,6 m
4.Wellen, Schall & Optik
Antwort: di = −8,571 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Brennweite
f = R/2 = 20 cm
Spiegelgleichung
1/di = 1/f − 1/do = 1/20 − 1/6
di = −8,571 cm
Strahlendiagramm
virtuelles Bild hinter dem Spiegel
Antwort
di = −8,571 cm
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